Đáp án:

Câu 1.13: $C.\ \dfrac{2\sqrt5}{3}a^3$

Câu 1.14: $D.\ \dfrac{\sqrt3}{3}a^3$

Giải thích các bước giải:

Câu 1.13:

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad AC^2 = AD^2 + CD^2$

$\Rightarrow CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{9a^2 - 4a^2}$

$\Rightarrow CD = a\sqrt5$

$\Rightarrow S_{ABCD} = AD.CD = 2a.a\sqrt5 = 2a^2\sqrt5$

Gọi $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow OA = OC = \dfrac12AC = \dfrac{3a}{2}$

Ta có: $AH = \dfrac23OA = \dfrac23\cdot \dfrac{3a}{2} = a$ (tính chất trọng tâm)

$SH\perp (ABCD)\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{(SA;(ABCD))}= \widehat{SAH} = 45^\circ$

$\Rightarrow SH = AH.\tan45^\circ = a$

Khi đó:

$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SH = \dfrac13\cdot 2a^2\sqrt5\cdot a = \dfrac{2a^3\sqrt5}{3}$

Câu 1.14:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có:

$BC = 2a$

$\widehat{ABC} = 60^\circ$

$M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow \begin{cases}AB = BC.\cos60^\circ = 2a\cdot \dfrac12 = a\\AC = BC.\sin60^\circ = 2a\cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = a\sqrt3\\MA = MB = MC = \dfrac12BC = a\end{cases}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac12AB.AC = \dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3 = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow S_{AMC} = \dfrac12S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle AMC$

$\Rightarrow HA = HC = HM = R$

Ta có: $S_{AMC} = \dfrac{AM.AC.MC}{4R}$

$\Rightarrow R = \dfrac{AM.AC.MC}{4S_{AMC}} = \dfrac{a.a\sqrt3.a}{4\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}}$

$\Rightarrow R = HA = HC = HM = a$

Mặt khác: $SA = SC = SM = a\sqrt5$

$\Rightarrow SH\perp (AMC)$

$\Rightarrow SH\perp (ABC)$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad SA^2 = SH^2 + HA^2$

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^2 -HA^2} = \sqrt{5a^2 - a^2}$

$\Rightarrow SH = 2a$

Khi đó:

$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SH = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot 2a = \dfrac{a^3\sqrt3}{3}$