@Moonnek2008

#Hoidap247

1. Xét ΔABE và ΔHBE có: 

BE là cạnh chung

$\widehat{ABE}$=$\widehat{HBE}$ (BE phân giác)

BH=BA (theo giả thuyết)

→ΔABE=ΔHBE (c.g.c)

→AE=HE (hai cạnh tương ứng)

2. Ta có ΔABE=ΔHBE (chứng minh trên)

→$\widehat{BAE}$=$\widehat{BHE}$ (hai góc tương ứng)

→$\widehat{BAE}$=$\widehat{BHE}$=90° 

Trong ΔBKC có: 

-CA là đường cao của ΔBKC

-KH là đường cao của ΔBKC

-E là giao điểm của CA và KH

→E là trực tâm của ΔBKC

→BE cũng là đường cao của ΔBKC

→BE ⊥ CK

3. Xét ΔAEK vuông ở A và ΔHEC vuông ở H có: 

AE=HE (chứng minh trên)

$\widehat{AEK}$=$\widehat{HEC}$

→ΔAEK=ΔHEC (cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

→KE=CE (hai cạnh tương ứng)

Trong ΔAEK vuông tại A có: 

KE là cạnh lớn nhất (cạnh huyền)

→KE>AE (cạnh huyền>cạnh góc vuông)

mà KE=CE (chứng minh trên)

→CE>AE hay AE<CE 

4) Giả sử: ΔABC có AB=$\frac{1}{2}$BC thì ΔBKC đều

Ta có:

AB=$\frac{1}{2}$BC (giả sử)

mà AB=HB (theo giả thuyết)

→HB=$\frac{1}{2}$BC

→H là trung điểm BC

Xét ΔBHK vuông ở H và ΔCHK vuông ở H có:

HK là cạnh chung

BH=HC (H là trung điểm BC)

→ΔBHK=ΔCHK (hai cạnh góc vuông)

→BK=CK (hai cạnh tương ứng) ➀

Ta có: ΔAEK=ΔHEC (chứng minh trên)

→AK=HC (hai cạnh tương ứng)

Ta có: 

AB+AK=BK

HB+HC=BC

mà AB=HB (theo giả thuyết)

và AK=HC (chứng minh trên)

→BK=BC ➁

Từ ➀ và ➁ 

→BC=BK=CK

→ΔBKC là Δ đều

Vậy nếu ΔABC có thêm điều kiện là AB=$\frac{1}{2}$BC thì ΔBKC là Δ đều

Đáp án:

$\\$

`1,`

Xét `ΔABE` và `ΔHBE` có :

`hat{ABE}=hat{HBE}` (gt)

`BE` chung

`AB=HB` (gt)

`-> ΔABE = ΔHBE` (cạnh - góc - cạnh)

`-> AE=HE` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`2,`

Có : `CA⊥BK` (gt)

`-> CA` là đường cao của `ΔBKC`

Có : `KH⊥BC` (gt)

`-> KH` là đường cao của `ΔBKC`

Xét `ΔBKC` có :

`CA` là đường cao

`KH` là đường cao

`CA` cắt `KH` tại `E`

`-> E` là trực tâm của `ΔBKC`

`-> BE` là đường cao của `ΔBKC`

`-> BE⊥KC`

$\\$

`3,`

Do `ΔABE = ΔHBE` (cmt)

`-> hat{BAE}=hat{BHE}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{BAE}=90^o` (gt)

`-> hat{BHE}=90^o`

hay `KH⊥BC`

Xét `ΔEHC` có :

`hat{EHC}=90^o` (Do `KH⊥BC`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`EC` là cạnh lớn nhất

`-> EC > HE`

mà `AE=HE` (cmt)

`-> AE < EC`

$\\$

`4,`

Giả sử `ΔABC` có : `AB = 1/2 BC` thì `ΔBKC` đều

Chứng minh.

Có : `AB = 1/2 BC` (điều giả sử)

mà `AB = HB` (gt)

`-> HB = 1/2 BC`

`-> H` là trung điểm của `BC`

Xét `ΔBHK` và `ΔCHK` có :

`hat{BHK}=hat{CHK}=90^o` (Do `KH⊥BC`)

`KH` chung

`BH=CH` (Do `H` là trung điểm của `BC`)

`-> BK = CK` (2 cạnh tương ứng) `(1)`

Xét `ΔAEK` và `ΔHEC` có :

`hat{AEK}=hat{HEC}` (2 góc đối đỉnh)

`AE=HE` (gt)

`hat{KAE}=hat{CHE}=90^o` (gt, cmt)

`-> ΔAEK = ΔHEC` (góc - cạnh - góc)

`-> AK=HC` (2 cạnh tương ứng)

Có : $\begin{cases} AB + AK = BK\\HB + HC = BC \end{cases}$

mà `AB=HB` (gt), `AK=HC` (cmt)

`-> BK =BC` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> BK = BC = KC`

`-> ΔBKC` đều

Vậy `ΔABC` có : `AB = 1/2 BC` thì `ΔBKC` đều