Đáp án:

$\\$

`a,`

Do `ΔMNP` cân tại `M`

`-> MN=MP` và `hat{N}=hat{P}`

và `hat{MNP}=(180^o-hat{M})/2` `(1)`

`NQ` là tia phân giác `-> hat{QNP}=1/2 hat{N}`

`LP` là tia phân giác `-> hat{LPN}=1/2 hat{P}`

mà `hat{N}=hat{P} -> hat{QNP}=hat{LPN}`

Xét `ΔNLP` và `ΔPQN` có :

`hat{LPN}=hat{QNP}` (cmt)

`NP` chung

`hat{N}=hat{P}` (cmt)

`-> ΔNLP = ΔQNP` (góc - cạnh - góc)

`-> NL=PQ` (2 cạnh tương ứng)

Có : `ML =MN - NL, MQ = MP - PQ`

mà `NL=PQ` (cmt), `MN=MP` (cmt)

`-> ML=MQ`

`-> ΔMLQ` cân tại `M`

`-> hat{MLQ}=(180^o-hat{M})/2` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{MLQ}=hat{MNP}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ LQ//NP$

`->` Tứ giác `NLQP` là hình thang

mà `hat{N}=hat{P}` (cmt)

`->` Tứ giác `NLQP` là hình thang cân 

$\\$

`b,`

Do $LQ//NP$ (cmt)

`-> hat{LQN}=hat{QNP}` (2 góc so le trong)

mà `hat{LNQ}=hat{QNP}` (Do `QN` là tia phân giác)

`-> hat{LQN}=hat{LNQ} (= hat{QNP})`

`-> ΔNLQ` cân tại `L`

`-> NL = LQ`

mà `NL = PQ` (chứng minh trên)

`-> LQ = NL = PQ`

Ta có do tam giác MNP cân tại M nên suy ra:

góc LNP = góc MNP

Hay trong hình thang NLQP có hai góc kề ở đáy bằng nhau.

=> MLQP là hình thang cân.

Nhận thấy LQ là đường trung bình 

=> LQ // NP =>góc PNQ = góc LQN => tam giác LQN cân tại L => LQ=LN

Cũng do LQ // Np => góc LPN = góc PLQ =>tam giác LPQ cân tại Q => QL=QP

=> LQ=NL=PQ