Định lý: "Nếu `a` và `b` là hai số nguyên dương và mỗi số đều chia hết cho $3$ thì $a^2+b^2$ cũng chia hết cho $3$"

Định lý đảo: "Nếu $a;b$ là hai số nguyên dương và $a^2+b^2$ chia hết cho $3$ thì mỗi số $a;b$ đều chia hết cho $3$

Chứng minh định lý đảo:

Giả thiết: `a;b` nguyên dương và `a^2+b^2` chia hết cho `3`

+) `TH1: a;b` đều không chia hết cho $3$

`=>a=3k+1` hoặc `a=3k+2` `(k\in NN)`

Nếu `a=3k+1` `(k\in NN)`

`=>(3k+1)^2=9k^2+6k+1` chia `3` dư `1`

Nếu `a=3k+2` `(k\in NN)`

`=>a^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4` chia `3` dư `1`

`=>` một số không chia hết cho `3` thì khi bình phương chia `3` dư `1`

Vì `b` không chia hết `3=>b^2` chia `3` dư `1`

`a^2;b^2` đều chia `3` dư `1`

`=>a^2+b^2` chia $3$ dư $2$ (mâu thuẫn giả thiết `a^2+b^2` chia hết $3$)

`=>`loại $TH1$

$\\$

+) `TH2: a` chia hết `3` và `b` không chia hết `3`

`=>a=3k\ (k\in NN)=>a^2=9k^2` chia hết $3$

Vì `b` không chia hết `3=>b^2` chia $3$ dư $1$ (từ chứng minh $TH1$)

`=>a^2+b^2` chia $3$ dư $1$ (mâu thuẫn giả thiết `a^2+b^2` chia hết $3$)

`=>`loại $TH2$

$\\$

+) `TH3: a` không chia hết `3` và `b` chia hết `3`

Tương tự $TH2$ loại

+) `TH4: a;b` đều chia hết $3$

`=>a=3k; b=3m\ (k;m\in NN)`

`=>a^2+b^2=9k^2+9m^2` chia hết cho $3$

`=>TH4` thỏa mãn đề bài

Vậy nếu `a;b` nguyên dương thỏa `a^2+b^2` chia hết `3` thì mỗi số `a;b` đều chia hết $3$

$\\$

Vì định lý thuận và định lý đảo đều đúng nên:

Với `a;b` là hai số nguyên dương và mỗi số đều chia hết cho $3$ là điều kiện cần và đủ để `a^2+b^2` chia hết cho $3$