Đáp án:

$\\$

`a,`

Do `ΔABC` vuông tại `A`

`-> hat{BAD}=90^o`

Do `DE⊥BC`

`-> hat{BED}=90^o`

Do `BD` là tia phân giác của `hat{B}`

`-> hat{ABD}=hat{EBD}`

Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có :

`hat{BAD}=hat{BED}=90^o`

`BD` chung

`hat{ABD}=hat{EBD}` (chứng minh trên)

`-> ΔABD = ΔEBD` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AB=EB` (2 cạnh tương ứng), `AD=ED` (2 cạnh tương ứng)

`-> B` nằm trên đường trung trực của `AE`, `D` nằm trên đường trung trực của `AE`

`-> BD` là đường trung trực của `AE`

$\\$

`b,`

Xét `ΔADF` và `ΔEDC` có :

`hat{ADF}=hat{EDC}` (2 góc đối đỉnh)

`AE=ED` (chứng minh trên)

`hat{FAD}=hat{CED}=90^o`

`-> ΔADF = ΔEDC` (góc - cạnh - góc)

`-> DF=DC` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`c,`

Xét `ΔDEC` có :

`hat{DEC}=90^o` (Do `DE⊥BC`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`DC` là cạnh lớn nhất

`-> DC > DE`

mà `AD=DE` (chứng minh trên)

`-> AD < DC`

$\\$

`d,`

Có : `AB=EB` (chứng minh trên)

`-> ΔABE` cân tại `B`

`-> hat{BAE}=(180^o-hat{B})/2` `(1)`

Do `ΔADF = ΔEDC` (chứng minh trên)

`-> AF =EC` (2 cạnh tương ứng)

Có : `AB+AF=BF, EB+EC=BC`

mà `AB=EB` (chứng minh trên), `AF=EC` (chứng minh trên)

`-> BF=BC`

`-> ΔFBC` cân tại `B`

`-> hat{BFC}=(180^o-hat{B})/2` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{BAE}=hat{BFC}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ AE//FC$

`a)`

Xét `2Δ` vuông `BAD` và `ΔBED` có:

          `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`

               `BD:chung`

`⇒ΔBAD=ΔBED(` cạnh huyền-góc nhọn `)`

`⇒AB=EB(2` cạnh tương ứng `)(đpcm)`

`⇒ΔABE` cân tại `B`

Mà `Δ` cân `ABE` có `BD` là đường phân giác

`⇒BD` đồng thời là đường cao,đường trung tuyến của `ΔABE`

`⇒BD` là trung trực của `AE(đpcm)`

`b)`

Theo câu `a)ΔBAD=ΔBED(` cạnh huyền-góc nhọn `)`

`⇒AD=ED(2` cạnh tương ứng `)`

Xét `2Δ` vuông `ADF` và `EDC` có:

   `hat{D_1}=hat{D_2}(2` góc đối đỉnh `)`

               `AD=ED(cmt)`

`⇒ΔADF=ΔEDC(` cạnh góc vuông-góc nhọn kề `)`

`⇒DF=DC(2` cạnh tương ứng `)(đpcm)`

`c)`

Xét `ΔDEC` vuông tại `E`.Theo nhận xét về cạnh lớn nhất trong `Δ` vuông, ta có:

                                         `ED<DC`

Mà `AD=ED(cmt)`

`⇒AD<DC(đpcm)`

`d)`

Vì `ΔABE` cân tại `B`

`⇒hat{BAE}=(180^o-hat{FBC})/2(1)`

Theo câu `b)ΔADF=ΔEDC(` cạnh góc vuông-góc nhọn kề `)`

`⇒AF=EC(2` cạnh tương ứng `)`

Ta có:`BF=BA+AF`

         `BC=BE+EC`

Mà `BA=BE(cmt)`

      `AF=EC(cmt)`

`⇒BF=BC`

`⇒ΔBFC` cân tại `B`

`⇒hat{BFC}=(180^o-hat{FBC})/2(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒hat{BAE}=hat{BFC}`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị 

`⇒AE``/``/``FC(đpcm)`