Lời giải:

Gọi $N$ là trung điểm $AC$

Ta có: $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$

$\Rightarrow \begin{cases}OM\perp BC\\ON\perp AC\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{OMC} = \widehat{ONC} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{OMN} + \widehat{NMC} = \widehat{ONM} + \widehat{MNC} = 90^\circ\qquad (1)$

Xét $\triangle ABC$ có:

$\begin{cases}MB = MC = \dfrac12BC\\NA = NC = \dfrac12AC\end{cases}$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}MN//AB\\MN = \dfrac12AB\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{ABC} = \widehat{NMC}\\\widehat{BAC} = \widehat{MNC}\end{cases}\ \ $ (đồng vị)

Ta lại có:

$\begin{cases}\widehat{ABC} + \widehat{BAH} = 90^\circ\quad (AH\perp BC)\\\widehat{BAC} + \widehat{ABH} = 90^\circ\quad (BH\perp AC)\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{NMC} + \widehat{BAH} = 90^\circ\\\widehat{MNC} + \widehat{ABH} = 90^\circ\end{cases}\qquad (2)$

Từ $(1)(2) \Rightarrow \begin{cases}\widehat{OMN} = \widehat{BAH}\\\widehat{ONM} = \widehat{ABH}\end{cases}$

Xét $\triangle OMN$ và $\triangle HAB$ có:

$ \begin{cases}\widehat{OMN} = \widehat{BAH}\\\widehat{ONM} = \widehat{ABH}\end{cases}\quad (cmt)$

Do đó: $\triangle OMN \backsim \triangle HAB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{OM}{AH} = \dfrac{MN}{AB} = \dfrac12$

Ta lại có: $\dfrac{GM}{AG} = \dfrac12\quad (gt)$

$\Rightarrow \dfrac{OM}{AH} = \dfrac{GM}{AG}$

Mặt khác:

$AH\perp BC$ ($H$ là trực tâm)

$OM\perp BC$ ($OM$ là trung trực $BC$)

$\Rightarrow AH//OM\quad (\perp BC)$

$\Rightarrow \widehat{OMG} = \widehat{HAG}$ (so le trong)

Xét $\triangle OMG$ và $\triangle HAG$ có:

$\begin{cases}\widehat{OMG} = \widehat{HAG}\quad (cmt)\\\dfrac{OM}{AH} = \dfrac{GM}{AG}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó $\triangle OMG\backsim \triangle HAG\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{OGM} = \widehat{HMA}$

mà $A,G,M$ thẳng hàng

nên $H,O,G$ thẳng hàng