Đáp án:

$\begin{array}{l}
{I_1} = {I_2} = 2A\\
{I_3} = {I_4} = \dfrac{2}{3}A\\
{I_5} = 0A
\end{array}$ 

Giải thích các bước giải:

Cách 1: dùng quy tắc xét nút:

Xét tại nút M, chiều cường độ dòng điện đi qua MN là chiều từ N đến M ta có:

$ - {I_1} + {I_2} = {I_5}\left( 1 \right)$

Ta lại có:
${U_1} + {U_2} = U \Leftrightarrow {I_1}{R_1} + {I_2}{R_2} = U \Leftrightarrow {I_1} + 2{I_2} = 6\left( 2 \right)$

Mặt khác:
$\begin{array}{l}
{U_5} + {U_1} = {U_3} \Leftrightarrow {I_5}{R_5} + {I_1}{R_1} = {I_3}{R_3}\\
 \Leftrightarrow 5{I_5} + {I_1} = 3{I_3} \Rightarrow {I_3} = \dfrac{{{I_1} + 5{I_5}}}{3}\\
{U_4} = {U_2} - {U_5} \Leftrightarrow {I_4}{R_4} = {I_2}{R_2} - {I_5}{R_5}\\
 \Leftrightarrow 6{I_4} = 2{I_2} - 5{I_5} \Rightarrow {I_4} = \dfrac{{2{I_2} - 5{I_5}}}{6}
\end{array}$

Nên:

$\begin{array}{l}
{I_3} - {I_4} = {I_5} \Leftrightarrow  - \dfrac{{2{I_2} - 5{I_5}}}{6} + \dfrac{{{I_1} + 5{I_5}}}{3} = {I_5}\\
 \Leftrightarrow 2{I_1} + 10{I_5} + 5{I_5} - 2{I_2} = 6{I_5}\\
 \Leftrightarrow 2{I_1} - 2{I_2} + 9{I_5} = 0\left( 3 \right)
\end{array}$

Cường độ dòng điện qua mỗi điện trở là:
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{I_1} = 2A\\
{I_2} = 2A\\
{I_5} = 0A
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {I_3} = \dfrac{{{I_1} + 5{I_5}}}{3} = \dfrac{{2 + 5.0}}{3} = \dfrac{2}{3}A\\
 \Rightarrow {I_4} = {I_3} - {I_5} = \dfrac{2}{3} - 0 = \dfrac{2}{3}A
\end{array}$

Cách 2: Nhận biết:

Theo đề ta có:
$\dfrac{{{R_1}}}{{{R_3}}} = \dfrac{{{R_2}}}{{{R_4}}}\left( {\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}} \right)$

Vì vậy mạch cầu trên là mạch cầu cân bằng nên bỏ qua điện trở R5:

${I_5} = 0A$

Đoạn mạch trở thành: [(R1//R3) nt (R2//R4)]

Điện trở tương đương của đoạn mạch là:
${R_{td}} = \dfrac{{{R_1}{R_3}}}{{{R_1} + {R_3}}} + \dfrac{{{R_2}{R_4}}}{{{R_2} + {R_4}}} = \dfrac{{1.3}}{{1 + 3}} + \dfrac{{2.6}}{{2 + 6}} = 2,25\Omega $

Cường độ dòng điện qua mạch là:
${I_m} = \dfrac{{{U_{AB}}}}{{{R_{td}}}} = \dfrac{6}{{2,25}} = \dfrac{8}{3}A$

Cường độ dòng điện qua mỗi điện trở là:
$\begin{array}{l}
{I_1} = \dfrac{{{R_3}}}{{{R_1} + {R_3}}}.{I_m} = \dfrac{3}{{3 + 3}}.\dfrac{8}{3} = 2A\\
 \Rightarrow {I_3} = {I_m} - {I_1} = \dfrac{8}{3} - 2 = \dfrac{2}{3}A\\
{I_2} = \dfrac{{{R_4}}}{{{R_2} + {R_4}}}.{I_m} = \dfrac{6}{{6 + 3}}.\dfrac{8}{3} = 2A\\
 \Rightarrow {I_4} = {I_m} - {I_2} = \dfrac{8}{3} - 2 = \dfrac{2}{3}A
\end{array}$