Đáp án:Sau bạn chia nhỏ ra để nhận được câu trả lời.Để dài như này thì không ai làm đou.....

Giải thích các bước giải:

`a)\sqrt{(a+b)/2}>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})/2`

`<=>(a+b)/2>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2/4`

`<=>2(a+b)>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2`

`<=>2a+2b>=a+b+2\sqrt{ab}`

`<=>a-2\sqrt{ab}+b>=0`

`<=>(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>=0` luôn đúng

Dấu "=" xảy ra khi `\sqrt{a}=\sqrt{b}<=>a=b`

`b)a+1/a>=2`

`<=>a-2+1/a>=0`

`<=>(\sqrt{a}-\sqrt{1/a})^2>=0` luôn đúng

Dấu "=" xảy ra khi `\sqrt{a}=\sqrt{1/a}<=>a=1`

`c)\sqrt{x}/\sqrt{y}+\sqrt{y}/\sqrt{x}>=2`

`<=>\sqrt{x}/\sqrt{y}-2+\sqrt{y}/\sqrt{x}>=0`

`<=>(\root{4}{x/y}-\root{4}{y/x})^2>=0` luôn đúng

Dấu "=" xảy ra khi `\root{4}{x/y}=\root{4}{y/x}<=>x=y`

`d)` Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương ta có:

`ab+1>=2\sqrt{ab}`

`=>1/(ab+1)<=1/(2\sqrt{ab}`

`=>(4ab)/(ab+1)<=(4ab)/(2\sqrt{ab})=2\sqrt{ab}`

Mặt khác:`a+b>=2\sqrt{ab}` theo bất đẳng thức cosi

`=>a+b>=(4ab)/(ab+1)` 

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=1`

`e)a/b+b/c+c/a>=3`

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương ta có:

`a/b+b/c+c/a>=3\root{3}{a/b*b/c*c/a}=3`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c.`

`f)a+b+c>=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}`

`<=>2a+2b+2bc>=2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}`

`<=>a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a>=0`

`<=>(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2>=0` luôn đúng.

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c.`