Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta ABD$ vuông cân tại $A\to AD=AB, AD\perp AB$

Mà $AB\perp AC\to A, D, C$ thẳng hàng

Tương tự chứng minh được $AE=AC$ và $ A, E,  B$ thẳng hàng 

Do $AB\perp AC\to BE\perp CD$

$\to DE^2=AD^2+AE^2=AB^2+AC^2=BC^2$

$\to DE=BC$

b.Ta có $\Delta ABD,\Delta ACE$ vuông cân tại $A$

$\to\widehat{ADB}=45^o=\widehat{AEC}$

$\to BD//CE$

c.Xét $\Delta CMN$ có $MA\perp CN, NA\perp MC$

$\to A$ là trực tâm $\Delta CMN\to CA\perp MN$

d.Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $F$ sao cho $MF=MA$

Xét $\Delta MFE,\Delta MAD$ có:

$MF=MA$

$\widehat{FME}=\widehat{DMA}$

$ME=MD$

$\to\Delta MEF=\Delta MDA(c.g.c)$

$\to \widehat{MFE}=\widehat{MAD}, EF=AD$

$\to EF//AD$

Mà $AD\perp AE$

$\to FE\perp AE$

$\to AF^2=FE^2+AE^2=AD^2+AE^2=DE^2$

$\to AF=DE$

$\to 2AM=DE$

$\to AM=\dfrac{DE}2$

Đáp án:

$\\$

*Hướng chứng minh câu `d.`

Dựa vào 2 `ΔABC=ΔADE` (chứng minh ở câu `a.`)

Để chứng minh `ΔADM` cân tại `M` và `ΔAME` cân tại `M`

Từ đó `-> DM=AM=ME`

`-> AM=1/2DE -> AM=(DE)/2`

$\\$

Chứng minh câu `d.`

Do `ΔABC=ΔADE`

`-> hat{ADE}=hat{ABC}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{ADM}=hat{ABC}`

Có : `hat{DAM}=hat{HAC}` (2 góc đối đỉnh)

mà `hat{HAC}=hat{ABC}` (Cùng phụ `hat{BAH}`)

`-> hat{DAM}=hat{ABC} (= hat{HAC})`

Lại có : `hat{ADM}=hat{ABC}` (chứng minh trên)

`-> hat{DAM}=hat{ADM} (=hat{ABC})`

`-> ΔADM` cân tại `M`

`-> DM = AM` `(1)`

Do `ΔABC=ΔADE` (chứng minh trên)

`-> hat{AED}=hat{ABC}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{AEM}=hat{ACB}`

Có : `hat{EAM}=hat{BAH}` (2 góc đối đỉnh)

mà `hat{BAH}=hat{ACB}` (Cùng phụ `hat{HAC}`)

`-> hat{EAM}=hat{ACB} (=hat{BAH})`

Lại có : `hat{AEM}=hat{ACB}` (chứng minh trên)

`-> hat{EAM}=hat{AEM} (=hat{ACB})`

`-> ΔAME` cân tại `M`

`-> AM = ME` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> AM=DM=ME`

`-> AM=1/2 DE`

`-> AM=(DE)/2`