Đáp án:

 Tổ A sản xuất được $460$ sản phẩm

Tổ B sản xuất được $440$ sản phẩm

Giải thích các bước giải:

 Gọi số sản phẩm tháng đầu thực hiện của tổ A là x(sản phẩm)

số sản phẩm tháng đầu thực hiện của tổ B là y(sản phẩm)

ĐKXĐ: $0<x,y<100;x,y\in N*$

Tháng đầu 2 tổ sản xuất được 900 sản phẩm nên ta có pt : $x+y=900(1)$

Sang tháng thứ 2,số sán phẩm tổ A tăng thêm 10% nên ta có tổ A sản xuất được : $\frac{100+10}{100}x=1,1x$ (sản phẩm)
Sang tháng thứ 2, tổ B sản xuất thêm 60 sản phẩm nên ta có số sản phẩm tổ B là $y+60$(sản phẩm)
Hai tổ sản xuất được 1006 sản phẩm nên ta có pt: $1,1x+y+60=1006$
                                            $<=>1,1x+y=946(2)$

Từ $(1)(2)$ ta có hệ : $\left \{ {{x+y=900} \atop {1,1x+y=946}} \right.$ 
Giải hệ pt ta được : $\left \{ {{x=460} \atop {y=440}} \right.(TMĐKXĐ)$ 
Vậy số sản phẩm tháng đầu thực hiện của tổ A là $460$ sản phẩm
Số sản phẩm tháng đầu thực hiện của tổ B là $440$ sản phẩm