a) Xét $y=0$ $\Rightarrow x^3=4014$ (phương trình vô nghiệm) (vì $x\in \mathbb{N}$)

Xét $y=1\Rightarrow x=20$(nhận)

Xét $y>1\Rightarrow 1993.3^y$ chia hết cho 9

$\Rightarrow 1993.3^y+2021 \equiv 5 (\bmod 9)\Rightarrow x^3 \equiv 5 (\bmod 9)$

Điều này là  vô lí vì 1 số lập phương chỉ có thể đồng dư $0, 1, 8$ $(\bmod 9)$

Vậy $(x;y)=(20;1)$

b) Vì $\dfrac{n-23}{n+89}$ là bình phương của một số hữu tỉ dương nên $n\ge 23$

Ta đặt $\dfrac{n-23}{n+89}=\left({\dfrac{a}{b}}\right)^2$,

Trong đó $a,b\in \mathbb{N}, (a,b)=1,a<b$

Vì $(a,b)=1\Rightarrow (a^2,b^2)=1$. Do đó tồn tại  số nguyên dương $k$ sao cho:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} n - 23 = {a^2}k\left( 1 \right)\\ n + 89 = {b^2}k\left( 2 \right) \end{array} \right.\\ \left( 2 \right) - \left( 1 \right) \Rightarrow \left( {n + 89} \right) - \left( {n - 23} \right) = \left( {{a^2} - {b^2}} \right)k\\  \Leftrightarrow 112 = \left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right)k \end{array}$

Nhận xét: $b+a$ và $b-a$ đều là ước dương của $112$, $b+a$ và $b-a$ có cùng tính chẵn lẻ và $b+a>b-a>0$ nên lập bảng giá trị ta được:(hình dưới)

Kết quả ta lập được bảy giá trị thỏa mãn đề bài:

$n=32,n=37, n=73, n=86, n=167, n=361, n=752$