Đáp án: $C$

Giải thích các bước giải:

$f'(x)=0$

$\to x=0$ hoặc $x=-1$ hoặc $x^2+2mx+5=0$

$x=0$ là nghiệm bội chẵn nên không là điểm cực trị 

$x=-1$ là nghiệm bội lẻ nên là điểm cực trị 

Để hàm số có một điểm cưc trị thì $x^2+2mx+5$ xảy ra 1 trong 3 khả năng:

+ Vô nghiệm 

+ Nghiệm kép (bằng $0$ hay $-1$ cũng được, khi đó $-1$ là nghiệm đa thức bậc 3, vẫn là nghiệm bội lẻ; khi đó $0$ là nghiệm đa thức bậc 4)

+ Hai nghiệm phân biệt, $1$ nghiệm bằng $-1$ (khi đó $-1$ là nghiệm bội chẵn), nghiệm còn lại khác $0$ (nếu bằng $0$ thì $0$ là nghiệm bội lẻ)

$\Delta'=m^2-5$

• Xét TH1:

$\Delta'<0\to -\sqrt5<m\sqrt5$

• Xét TH2:

$\Delta'=0\to m=\pm\sqrt5$ (loại, $m$ nguyên)

• Xét TH3:

$\Delta'>0\to \left[ \begin{array}{l}m<-\sqrt5\\m>\sqrt5\end{array} \right.$

$1-2m+5=0\to m=3$ (TM)

$0+0+5\ne 0$ luôn đúng

$\to m=3$

Vậy $m\in\{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$f'(x)=0$

$⇔x^2(x+1)(x^2+2mx+5)=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}x=0;x=-1\\x=x^2+2mx+5=0(1)\end{array} \right.$

Vì $f'(x)$ không đổi dấu qua nghiệm $x=0$

$⇒$Hàm số không đạt cực trị tại $x=0$

$⇒$Hàm số $y=f(x)$ có một cực trị trong các trường hợp:

TH1:Phương trình $(1)$ vô nghiệm.Khi đó ${\Delta }'={{m}^{2}}-5<0\Leftrightarrow -\,\sqrt{5}$

TH2:Phương trình $(1)$ có nghiệm kép bằng $-1$.Khi đó $\begin{cases}
Δ'=m^2-5=0\\    
1^2-2m+5=0
\end{cases}$

TH3:Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt,trong đó có một nghiệm bằng $-1$

$⇒\begin{cases}
Δ'=m^2-5>0\\
1^2-2m+5=0
\end{cases}$

$⇔\begin{cases}
m^2-5>0\\
m=3
\end{cases}$

$⇔m=3$

$⇒$Có tất cả 6 giá trị nguyên $m$