Theo đề bài, ta có:

+ AM là đường trung tuyến của ΔABC

⇒ BM = CM = $\frac{BC}{2}$ =  $\frac{15}{2}$ = 7,5cm

+ ΔABC vuông tại A

   AM là đường trung tuyến của ΔABC

⇒ BM = CM = AM = 7,5cm

+ MH ⊥ AC tại H

⇒ MHA = MHC = $90^{0}$ 

⇒ ΔAMH; ΔCMH cùng vuông tại H

a. 

+ Xét ΔABC vuông tại A có:

AB² + AC² = BC² (định lí Pytago)

9² + AC² = 15²

81 + AC² = 225

         AC² = 225 - 81 = 144

⇒ AC = 12cm

+ Xét ΔAMH; ΔCMH cùng vuông tại H có:

AM = CM (cmt)

MH chung

⇒ ΔAMH = ΔCMH (cgv - ch)

⇒ AH = CH (2 cạnh tương ứng)

+ AH + CH = AC

   CH + CH = 12

   2CH = 12

     CH = 12 : 2 = 6cm

b. + AH = CH (cma)

⇒ BH là đường trung tuyến của ΔABC (định nghĩa)

+ Xét ΔABC có:

AM; BH là các đường trung tuyến của ΔABC

AM ∩ BH = {G}

⇒ G là trọng tâm của ΔABC

mà AM là đường trung tuyến của ΔABC

⇒ AG = $\frac{2}{3}$AM

mà AM = 7,5cm

⇒ AG = $\frac{2}{3}$.7,5

          = 5cm

a/ Xét `ΔABC` vuông tại A có: AM là đường trung tuyến

`=> AM = CM = (BC)/2 = 15 : 2 = 7,5 (cm)`

`CM = AM => ΔACM` cân tại M  (1)

Mà MH là đường cao của `ΔACM`  (2)

Từ (1), (2)

`=> MH` cũng là đường trung tuyến của `ΔACM`

`=> AH = CH = (AC)/2`  (3)

Xét `ΔABC` vuông tại A có: `BC^2 = AB^2 + AC^2` (định lí Pytago)

`=> AC^2 = BC^2 - AB^2 = 144`

`=> AC = \sqrt{144} = 12 (cm)`  

Thay `AC = 12cm` vào (3) ta được:

`AH = CH = 12/2 = 6 (cm)`

Vậy `CH = 6cm`.

b/ Xét `ΔABC` có: 2 đường trung tuyến AM và BH cắt nhau tại G

`=> G` là trọng tâm của `ΔABC`

`=> AG = 2/3AM = 2/3 . 7,5 = 5 (cm)`

Vậy `AG = 5cm`.