a) Vì E, D lần lượt là trung điểm của AB, AC (đề bài)

=> ED là đường trung bình của tam giác ABC (định nghĩa đường trung bình của tam giác)

=> ED // BC; ED = ½ BC(tính chất đường trung bình của tam giác) 

Vì O là giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác ABC (đề bài); E, D lần lượt là trung điểm của AB, AC (đề bài)  

=> OD vuông góc với AC; OE vuông góc với AB

Vì H là trực tâm của tam giác ABC (đề bài) => BH vuông góc với AC; CH vuông góc với AB

Mà OD vuông góc với AC; OE vuông góc với AB (cmt)

=> BH // OD; CH // OE (từ vuông góc đến // )

Vì BH // OD; ED // BC (Cmt) => Góc ODE = góc HBC  

Vì CH // OE, ED // BC (cmt) => góc ODE = góc HCB

Xét tam giác OED và tam giác HCB có: 

+)góc ODE = góc HCB

+) Góc ODE = góc HBC 

=> Tam giác OED ~ tam giác HCB (g.g)(đpcm)

=>  OE/CH = OD/BH = ED/BC = ½ 

b) Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC (đề bài)

=> GD = ½ BG (Tính chất trọng tâm của tam giác)

Ta có BH // OD (Cmt) => Góc BHG = góc GOD (2 góc slt)

Xét tam giác GOD và tam giác GHB có: 

+) GD = ½ BG

+) Góc GOD = góc BGH(cmt)

+) OD/BH = ½

=> Tam giác GOD ~ tam giác GHB 

=> Góc OGD = góc HGB; OG/HG = OD/BH =  ½  (tính chất 2 tam giác đồng dạng)

c) Ta có góc OGD = góc HGB (cmt); B, G, D thẳng hàng 

=> H, G, O thẳng hàng vì H và O nằm ở 2 mặt phẳng khác nhau, bờ là BD

Ta có OG/HG = ½ (cmt) => GH = 2OG