Đáp án:

$(x; y)=(1; 1); (0; 3); (3; 0)$

Giải thích các bước giải:

C1: $(x+y)(x^2y^2+1)=xy+3$ $(*)$

Đặt: $a=x+y$; $b=xy$ (`a, b ∈ ZZ`)

$(*)⇔ a(b^2+1)=b+3$

$⇔ ab^2-b+a-3=0$ $(**)$

$*)$ Với $a=0$ thì: $b=3$

Khi đó, $\begin{cases}x+y=0\\xy=3\end{cases}$

$x ,y$ là nghiệm phương trình: $X^2-0X+3=0$ (vô nghiệm vì $X^2+3 > 0$)

$*)$ Với $a \neq 0$ thì:

Xét phương trình $(**)$ bậc $2$ ẩn $b$:

$Δ=1-4a(a-3)=-4a^2+12a+1$

Để phương trình có nghiệm thì $Δ \geq 0$

$⇔ -4a^2+12a+1 \geq 0$

$⇔ \dfrac{3-\sqrt{10}}{2} \leq a \leq \dfrac{3+\sqrt{10}}{2}$

Vì `a ∈ ZZ` nên: `a ∈ {1; 2; 3}` (do $a \neq 0$)

$*)$ Nếu $a=1$ thì $\left[ \begin{array}{l}b=2\\b=-1\end{array} \right.$

$⇒ \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x+y=1 \\xy=2\end{cases}(VN)\\\begin{cases}x+y=1 \\xy=-1\end{cases}(x; y∉ Z)\end{array} \right.$

$*)$ Nếu $a=2$ thì $\left[ \begin{array}{l}b=1(n)\\b=-\dfrac{1}{2}(l)\end{array} \right.$

$⇒ \begin{cases}x+y=2\\xy=1\end{cases}$

$⇔ \begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$

$*)$ Nếu $a=3$ thì: $\left[ \begin{array}{l}b=0(n)\\b=\dfrac{1}{3}(l)\end{array} \right.$

$⇒ \begin{cases}x+y=3\\xy=0\end{cases}$

$⇒ \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}(tm)\\\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}(tm)\end{array} \right.$

Vậy $(x; y)=(1; 1); (0; 3); (3; 0)$

C2: $(x+y)(x^2y^2+1)=xy+3$

$⇒ xy+3 \vdots x^2y^2+1$

$⇒ (xy+3)(xy-3) \vdots x^2y^2+1$

$⇒ x^2y^2-9 \vdots x^2y^2+1$

$⇒ x^2y^2+1-(x^2y^2-9) \vdots x^2y^2+1$

$⇒ 10 \vdots x^2y^2+1$

Vì $x^2y^2+1 \geq 1$ và `x , y ∈ ZZ` nên

`x^2y^2+1 ∈ {1; 2; 5; 10}`

$*)$ Nếu $x^2y^2+1=1$ thì $\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}(tm)\\\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}(tm)\end{array} \right.$

$*)$ Nếu $x^2y^2+1=2$ thì $x^2y^2=1$

$⇒ x+y=2$

$⇒ (x; y)=(1; 1)$ (do `x, y ∈ ZZ`)

$*)$ Nếu $x^2y^2+1=5$ thì $x^2y^2=4$

Thay vào và tìm $x ,y$ (loại)

$*)$ Nếu $x^2y^2+1=10$ thì $x^2y^2=9$

Thay vào và tìm $x ,y$ (loại)

Vậy $(x; y)=(1; 1); (0; 3); (3; 0)$