Giải thích các bước giải:

Bài 1:

a. Ta có $\Delta MNP$ vuông tại $M, MH\perp NP$

$\to NP^2=MN^2+MP^2=100$

$\to NP=10$

Mà $MH\cdot NP=MN\cdot MP(=2S_{MNP})$

$\to MH=\dfrac{MN\cdot MP}{NP}=\dfrac{24}5$

$\to HP=\sqrt{MP^2-MH^2}=\dfrac{32}5$

$\to NH=NP-HP=\dfrac{18}5$

b.Ta có $MH^2=NH\cdot HP=16$

$\to MH=4$

$\to MN=\sqrt{MH^2+NH^2}=2\sqrt{5}, MP=\sqrt{MH^2+HP^2}=4\sqrt{5}$

c.Ta có:

$NP^2=MN^2+MP^2\to MP^2=NP^2-MN^2=144$

$\to NP=12$

$\to MH=\dfrac{NM\cdot MP}{NP}=\dfrac{36}5$

d.Ta có $MH\perp NP$

$\to MH=\sqrt{MN^2-NH^2}=3\sqrt{5}$

Lại có $NM^2=NH.NP$

$\to NP=\dfrac{MN^2}{NH}=\dfrac{27}2$

$\to HP=NP-NH=\dfrac{15}2$

$\to MP=\sqrt{MH^2+HP^2}=\dfrac92\sqrt5$

e.Đặt $NH=x$

$\to MH^2=HN.HP=12x$

Mà $NH^2=MN^2-MH^2$

$\to x^2=9^2-12x$

$\to x^2+12x-9^2=0$

$\to x=-6+3\sqrt{13}$

Bài 2:

a.Ta có $MN\perp MP, HD\perp MN, HE\perp MP\to HDME$ là hình chữ nhật

$\to DE=MH$

Mà $\Delta MNP$ vuông tại $M, MH\perp NP$

$\to MH^2=HN.HP$

$\to DE^2=NH.HP$

b.Do $HDME$ là hình chữ nhật

Gọi $MH\cap DE=I\to I$ là trung điểm $MH, DE$

Ta có $\Delta MHN$ vuông tại $H, HD\perp MN\to MD.MN=MH^2$

Tương tự $ME.MP=MH^2$

$\to MD.MN=ME.MP=(MH^2)$

c.Ta có:

$NH.HP-MD.DN=MH^2-HD^2=MD^2=HE^2=ME.EP$

d.Ta có $K$ là trung điểm $NH,\Delta DNH$ vuông tại $D\to KD=KN=KH$

Mà $MDHE$ là hình chữ nhật, $MH\cap DE=I\to IM=ID=IH=IE$

Do $ID=IH, KD=KH\to IK$ là trung trực của $DH$

$\to D,H$ đối xứng qua $IK$

$\to\widehat{IDK}=\widehat{IHK}=90^o$

$\to KD\perp DI$

$\to DK\perp DE$

e.Ta có:

$ET^2=IT^2-IE^2=IT^2-IH^2=HT^2$

$\to ET=HT$

$\to\Delta TEH$ cân tại $T$

$\to\widehat{TEH}=\widehat{THE}$

$\to \widehat{TEP}=90^o-\widehat{TEH}=90^o-\widehat{THE}=\widehat{TPE}$

$\to\Delta TPE$ cân tại $T\to TE=TP$

$\to TP=TH(=TE)$

f.Ta có $\Delta MNP$ vuông tại $M, Q$ là trung điểm $NP$

$\to QM=QN=QP$

$\to\Delta QMP$ cân tại $Q$

Mà $\Delta TPE$ cân tại $T$

$\to \widehat{TEP}=\hat P\widehat{QMP}$

$\to QM//ET$
Do $ET\perp DE\to MQ\perp DE$

$\to MF\perp DE$

Lại có $MD\perp ME$

$\to\dfrac1{MF^2}=\dfrac1{MD^2}+\dfrac1{ME^2}$