Xin hay nhất

a) Tổng các góc trong 1 tứ giác bằng 360 độ

nên góc DME = 360 độ - góc ADM - góc DAE - góc AEM

DME = 360 - 90 - 60 - 90 = 120 độ

b) Ta có góc HBC = 30 độ ( vì trong tam giác BHC vuông tại H, có góc C = 60 độ)

tương tự góc DMB = 30 độ

=> góc HBC = góc DMB

Xét Δvuông DBM và Δvuông QMB có:
chung BC ( cạnh huyền)

góc HBC = góc DMB

=>Δvuông DBM = Δvuông QMB  ( cạnh huyền -góc nhọn)

=> BD = MQ

c)Δ vuông BDI có góc BDI = 30 độ ( vì góc B = 60 độ)

suy ra BI = $\frac{1}{2}$  BD (Trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc 30 độ = nửa cạnh huyền)

Tương tự

NC =$\frac{1}{2}$ CH(Trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc 30 độ = nửa cạnh huyền)

KC = $\frac{1}{2}$ EC(Trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc 30 độ = nửa cạnh huyền)

Trừ vế cho vế ta có

NC - KC = $\frac{1}{2}$ CH - $\frac{1}{2}$ EC

<=> NK = $\frac{1}{2}$ (CH - EC)

<=> NK = $\frac{1}{2}$HE (1)

Ta có HE = QM (2) ( tính chất cạnh chắn - nếu hai cặp đường thẳng song song chắn nhau thì tạo ra các cặp đoạn thẳng bằng nhau. Hoặc nếu bạn học hình chữ nhật rồi thì tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật cũng suy ra hai đoạn thẳng bằng nhau.)

Từ (1), (2) ta có

NK = $\frac{1}{2}$ QM

mà QM = BD theo chứng minh câu b

nên NK = $\frac{1}{2}$ BD( tính chất cạnh chắn - nếu hai cặp đường thẳng song song chắn nhau thì tạo ra các cặp đoạn thẳng bằng nhau. Hoặc nếu bạn học hình chữ nhật rồi thì tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật cũng suy ra hai đoạn thẳng bằng nhau.)

Từ.(Trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc 30 độ = nửa cạnh huyền)và ( tính chất cạnh chắn - nếu hai cặp đường thẳng song song chắn nhau thì tạo ra các cặp đoạn thẳng bằng nhau. Hoặc nếu bạn học hình chữ nhật rồi thì tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật cũng suy ra hai đoạn thẳng bằng nhau.) ta có BI = NK

d) Chứng minh: Khi M di chuyển trên BC thì IK có độ dài không đổi.

Ta có IK = IM + MK = (BM - BI ) + (MC - KC)

= (BM + MC) - BI - KC

= BC - $\frac{1}{2}$BD - $\frac{1}{2}$EC

= BC - $\frac{1}{2}$HE -$\frac{1}{2}$EC (vì HE = BD)

= AC - $\frac{1}{2}$ ( HE + EC)

= AC - $\frac{1}{2}$HC

Nhận thấy. tam giác ABC là tam giác cho trước nên AC cố định

Do BH là đường cao của tam giác ABC cố định nên BH cố định nên hình chiếu của nó tức là HC cố định

suy ra AC - $\frac{1}{2}$HC luôn không đổi khi M thay đổi

hay chính là IK luôn không đổi khi M thay đổi.