`a)`

Xét `ΔABH` và `ΔCBA` có:

       `hat{B}:chung`

    `hat{AHB}=hat{CAB}=90^o`

`⇒ΔABH`$\sim$`ΔCBA(g.g)(đpcm)`

`b)`

Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABC` ta có:

                     `BC²=AB²+AC²`

                     `BC²=6²+8²`

                     `BC²=36+64`

                     `BC²=100`

                     `BC=`$\sqrt[]{100}$ 

                     `BC=10(cm)`

Vì `BD` là tia phân giác của `hat{ABC}` nên:

            `(AD)/(DC)=(AB)/(BC)`

         `⇒(AD)/(AD+DC)=(AB)/(AB+BC)`

         `⇒(AD)/(AC)=(AB)/(AB+BC)`

         `⇒(AD)/8=6/(6+10)`

         `⇒AD=(8.6)/(6+10)`

         `⇒AD=48/16`

         `⇒AD=3(cm)`

Ta có:`DC=AC-AD=8-3=5(cm)`

`c)`

Xét `ΔBAD` và `ΔBHI` có:

     `hat{BAD}=hat{BHI}=90^o`

     `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`

`⇒ΔBAD`$\sim$`ΔBHI(g.g)`

`⇒(AB)/(HB)=(BD)/(BI)`

`⇒AB.BI=BD.HB(đpcm)`

`d)`

Ta có:`S_(BAD)=1/2AB.AD=1/2 .6.3=9(cm²)`

Ta có:`S_(ABC)=1/2AB.AC`

Mặt khác:`S_(ABC)=1/2AH.BC`

`⇒AB.AC=AH.BC`

`⇒6.8=AH.10`

`⇒48=AH.10`

`⇒AH=48/10`

`⇒AH=4,8(cm)`

Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `AHB` ta có:

                     `AB²=AH²+HB²`

                     `6²=4,8²+HB²`

                     `HB²=6²-4,8²`

                     `HB²=36-23,04`

                     `HB²=12,96`

                     `HB=`$\sqrt[]{12,96}$ 

                     `HB=3,6(cm)`

Theo câu `c)ΔBAD`$\sim$`ΔBHI(g.g)`

`⇒(S_(BAD))/(S_(BHI))=((AB)/(HB))^2=(6/(3,6))^2=36/(12,96)=25/9`

`⇒S_(BHI)=S_(BAD):25/9=S_(BAD) . 9/25=9 . 9/25=3,24(cm²)`