Đáp án: `p=3`

Giải thích các bước giải:

Do `p` là số nguyên tố nên các ước của `p^4` là `1;p;p^2;p^3;p^4`

Ta có `n^2=p^4+p^3+p^2+p+1` với `n\inNN`

Do đó `4n^2=4p^4+4p^3+4p^2+4p+4`

      `=(2p^2+p)^2+3p^2+4p+4>(2p^2+p)^2`

Mà `3p^2+4p+4>0∀p` là số nguyên tố.

        `=>` `2n>2p^2+p(1)`

Mặt khác `4n^2=4p^4+4p^3+4p^2+4p+4`

                          `=(2p^2+p+1)^2-p^2+2p+3`

                           `(2p^2+p+1)^2-(p-1)^2+4`

`+)` Nếu `p>3` thì `-(p-1)^2+4<0`

`=>4n^2<(2p^2+p+1)^2=>2n<2p^2+p+1(2)`

Từ `(1)` và `(2)=>2p^2+p<2n<2p^2+p+1(` vô lý `)`

Từ đó suy ra `p<=3`

Do `p` là số nguyên tố nên `p=2` hoặc `p=3`

`+)` Thử `p=2:`

Tổng các ước nguyên dương của `p^4` là:

`1+p+p^2+p^3+p^4=1+2+2^2+2^3+2^4=31\ne n^2`

`=>` Không thỏa mãn `=>` `p\ne2`

`+)` Thử `p=3:`

Tổng các ước nguyên dương của `p^4` là:

`1+p+p^2+p^3+p^4=1+3+3^2+3^3+3^4=121=11^2=n^2`

`=>` Thỏa mãn `=>` `p=3`

Vậy `p=3` thì thỏa mãn

Để $\sqrt[]{1+p+{p^2}+{p^3}+{p^4}}$ là số hữu tỉ thì 1+p+p²+p³+$p^{4}$ phải là bình phương của một số hữu tỉ mà p nguyên tố nên 1+p+p²+p³+$p^{4}$ phải là số chính phương

Đặt 1+p+p²+p³+$p^{4}$=t²( với t ∈ Z)

Ta có: 4t²= ( 2p²+p)²+3p²+4p+4

              ⇒ ( 2p²+p)²+4( 2p²+p)²+4>4t²>( 2p²+p)²

              ⇔ ( 2p²+p+2)²>4t²>( 2p²+p)²

              ⇒ 4t²=( 2p²+p+1)²                                                    

              ⇒ ( 2p²+p)²+3p²+4p+4=( 2p²+p)²+4p²+2p+1

              ⇔p² -2p -3=0  ⇒(p+1)(p-3=0

              ⇒p=3(vì p là số nguyên tố)