Xét hình thang $ABCD\ (AB//CD)$ có:

$AM = MD =\dfrac12AD$

$BN=NC=\dfrac12BC$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}MN =\dfrac{AB+CD}{2}=\dfrac{3AB}{2}\\MN//AB//CD\end{cases}$

Xét $\triangle ABD$ có:

$AM = MD =\dfrac12AD$

$AP//AB$

$\Rightarrow AP =\dfrac12AB\qquad (1)$

Xét $\triangle ABC$ có:

$BN = NC =\dfrac12BC$

$NQ//AB$

$\Rightarrow NQ =\dfrac12AB\qquad (2)$

Ta lại có:

$\quad MP + PQ + QN = MN$

$\Leftrightarrow PQ = MN - MP - NQ$

$\Leftrightarrow PQ =\dfrac{3AB}{2} -\dfrac12AB -\dfrac12AB$

$\Leftrightarrow PQ =\dfrac12AB\qquad (3)$

Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow MP = PQ = QN$

M;N lần lượt là trđ của AD; BC (gt)

=> MN là đtb của ht ABCD

=> MN // AB

xét tg ABD có MP // AB

=> MP/AB = DM/DA

mà DM/DA = 1/2 do M là trđ của AD

xé tg ABC có QN // AB

=> QN/AB = CN/CB

mà CN/CB = 1/2

do N là trđ của BC

=> MP/AB = QN/AB = 1/2   

=> MP = QN                            (1)

MP/AB = QN/AB = 1/2   

=> mp = 1/2ab = qn

có MN là đtb của hình thang ABCD

=> MN = (AB + DC) /2

=> MP + QP + QN = AB/2 + CD/2

=> AB/2 + AB/2 + PQ = AB/2 + CD/2

=> PQ = CD/2 - AB/2 

mà CD/2 = AB (gt)

=> PQ = AB - AB/2 = AB/2 

vậy MP = PQ = QN