Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a/ Ta có: $\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0$

$⇒ OAMB$ là tứ giác nội tiếp

Hay $O, A, M, B$ cùng thuộc một đường tròn $(1)$

$\widehat{OEM}=\widehat{OAM}=90^0$

$⇒ OEAM$ là tứ giác nội tiếp

Hay $O, E, A, M$ cùng thuộc một đường tròn $(2)$

Từ $(1), (2)$ suy ra: $O, E, A, M, B$ cùng thuộc một đường tròn

b/ Ta có: $AM=BM$ và $AEBM$ là tứ giác nội tiếp

$⇒ \widehat{AEM}=\widehat{BEM}$

Có: $\widehat{ECF}=\widehat{EMA}$ (đồng vị)

Mà $\widehat{EMA}=\widehat{EBA}$

nên $\widehat{ECF}=\widehat{EBA}$

Xét $ΔEFC$ và $ΔEIB$

Có: $\widehat{ECF}=\widehat{EBI}$ (chứng minh trên)

$\widehat{FEC}=\widehat{IEB}$ (chứng minh trên)

$⇒ΔEFC \backsim ΔEIB$

c/ Có: $\widehat{AEM}=\widehat{BAM}$ (do $AM=BM$)

$⇒ \widehat{AEM}=\widehat{BAC}+\widehat{CAM}$

$⇒ \widehat{AEM}=\widehat{BAC}+\widehat{ABC}$

$⇒ 180^0-\widehat{AEM}=180^0-(\widehat{BAC}+\widehat{ABC})$

$⇒ \widehat{AED}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$ (cùng chắn cung $AC$)

nên $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$

$⇒ \widehat{DAE}+\widehat{EAB}=\widehat{BAC}+\widehat{EAB}$

$⇒ \widehat{DAB}=\widehat{EAC}$

Mà $\widehat{DAB}=\widehat{DCB}$ nên $\widehat{EAC}=\widehat{DCB}$

Xét $ΔEAC$ và $ΔECB$

Có: $\widehat{EAC}=\widehat{ECB}$ (chứng minh trên)

$\widehat{AEC}=\widehat{CEB}$ (câu $b$)

$⇒ ΔEAC \backsim ΔECB$

$⇒ \dfrac{EC}{EB}=\dfrac{EA}{EC}$

$⇒ EC^2=EA.EB$ $(*)$

Có: $ΔEIB \backsim ΔEAM$ $(g-g)$

$⇒ \dfrac{EB}{EM}=\dfrac{EI}{EA}$

$⇒ EM.EI=EA.EB$ $(**)$

Từ $(*), (**)$ suy ra: $EC^2=EM.EI$

$⇒ \dfrac{EC}{EM}=\dfrac{EI}{EC}$

Mà $\dfrac{EC}{EM}=\dfrac{EF}{EA}$ (do $FC // AM$)

nên $\dfrac{EI}{EC}=\dfrac{EF}{EA}$

Theo định lý Talet đảo: $FI // AC$