Đáp án:

$GTLN$ của $S$ bằng `4/3` khi `m=1`

$GTNN$ của $S$ bằng `0` khi `m=-1`

Giải thích các bước giải:

` (m^2+m+1)x^2-(m^2+2m+1)x-1=0` $(1)$

Ta có:

`a=m^2+m+1;b=-(m^2+2m+1);c=-1`

`a=m^2+m+1=m^2+2.m. 1/2+1/4+3/4`

`=(m+1/2)^2+3/4\ge 3/4>0`

`=>a\ne 0`

`=>(1)` là phương trình bậc hai một ẩn

`\qquad ∆=b^2-4ac=[-(m^2+2m+1)]^2-4.(m^2+m+1).(-1)`

`=(m+1)^2+4(m^2+m+1)`

`=(m+1)^2+4.[(m+1/2)^2+3/4]>0` với mọi `m`

`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi `m`

Theo hệ thức Viet ta có:

`S=x_1+x_2={-b}/a={m^2+2m+1}/{m^2+m+1}`

`S={(m+1)^2}/{(m+1/2)^2+3/4}\ge 0` với mọi `m`

Dấu "=" xảy ra khi: `(m+1)^2=0<=>m=-1`

`=>S_{min}=0` khi `m=-1`

$\\$

Ta có:

`S={m^2+2m+1}/{m^2+m+1}`

`=>S-4/3={m^2+2m+1}/{m^2+m+1}-4/3`

`=>S-4/3={3(m^2+2m+1)-4(m^2+m+1)}/{3(m^2+m+1)}`

`=>S-4/3={3m^2+6m+3-4m^2-4m-4}/{3(m^2+m+1)}`

`=>S-4/3={-(m^2-2m+1)}/{3.(m^2+m+1)}`

`=>S-4/3={-(m-1)^2}/{3.[(m+1/2)^2+3/4]}`

Với mọi `m`

`=>(m-1)^2\ge 0=>-(m-1)^2\le 0`

`\qquad (m+1/2)^2+3/4\ge 3/4>0`

`=>{-(m-1)^2}/{3.[(m+1/2)^2+3/4]}\le 0`

`=>S-4/3\le 0<=>S\le 4/3`

Dấu "=" xảy ra khi: `(m-1)^2=0<=>m=1`

`=>S_{max}=4/3` khi `m=1`

Vậy:

$GTLN$ của $S$ bằng `4/3` khi `m=1`

$GTNN$ của $S$ bằng `0` khi `m=-1`