Đáp án + giải thích các bước giải:

Thử với `x=y=z=1` là thấy bất đẳng thức sai, đề đúng có thể là `(x+y)(y+z)(z+x)\ge8/3(x+y+z)\root{3}{x^2y^2z^2}` thực chất đây chỉ là bất đẳng thức `8/9` quen thuộc: `(a+b)(b+c)(c+a)\ge8/9(a+b+c)(ab+bc+ca) `

Ta có:

`(a+b+c)(ab+bc+ca)`

`=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc+abc`

`=(a+b)(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca)-abc+abc`

`=(a+b)(ab+bc+ca)+abc+c(bc+ca)-abc +abc`

`=(a+b)(ab+bc+ca)+c^2(b+a) +abc`

`=(ab+bc+ca+c^2)(a+b) +abc`

`=[b(a+c)+c(a+c)](a+b) +abc`

`=(b+c)(a+c)(a+b) +abc`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`a+b+c≥3`$\sqrt[3]{abc}$ 

`ab+ac+bc≥3`$\sqrt[3]{ab.bc.ca}=\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}$ 

`->(a+b+c)(ab+bc+ca)≥3`$\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}$ 

`->(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9`$\sqrt[3]{a^3.b^3.c^3}$`=9abc`

`->(a+b)(b+c)(a+c)+abc≥9abc`

`->(a+b)(b+c)(a+c)≥8abc`

`->(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9abc+8/9(a+b)(b+c)(a+c)`

`->(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9 [abc+(a+b)(b+c)(a+c)]`

`->(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9(a+b+c)(ab+bc+ca)`

Và giờ thì việc đơn giản là áp dụng, ta có:

`(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8/9 (x+y+z)(xy+yz+zx)\ge 8/3 (x+y+z)\root{3}{x^2y^2z^2}`

`->đpcm`

Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z`

Đáp án:

 đề mk viết  sai nhé đề đúng 

đầy là cách mk mới nghĩ

Giải thích các bước giải:

  ta có x+y+z≥3.$\sqrt[3]{x.yz}$ 

            xy+yz+zx≥3.$\sqrt[3]{(x.yz)²}$ 

⇒(x+y+z).(xy+yz+zx)≥9xyz

⇔$\frac{1}{9}$ .(x+y+z).(xy+yz+zx)≥xyz

⇔(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz≥$\frac{8}{9}$ .(x+y+z).(xy+yz+zx)

⇔(x+y)(y+z)(z+x)≥$\frac{8}{9}$ .(x+y+z).(xy+yz+zx)≥$\frac{8}{9}$ .(x+y+z).3.$\sqrt[3]{(x.yz)²}$ 9dpcm)