Gửi cậu 🙆‍♀️💜

a. Ta có: ΔABC cân tại A (gt)

mà có BH là đường cao

→BH cũng là đường trung tuyến 

→H là trung điểm của AC.

b. Xét ΔEAH vuông tại E và ΔFCH vuông tại F có: 

AH = HC (H là trung điểm của AC)

$\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (ΔABC cân tại A)

→ΔEAH = ΔFCH (cạnh huyền-góc nhọn)

→EH = FH (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔBEH vuông tại E và ΔBFH vuông tại F có: 

BH là cạnh chung

EH = FH (cmt)

→ΔBEH = ΔBFH (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

→BE = BF (hai cạnh tương ứng)

→ΔBEF là Δ cân (ĐN)

c. Ta có: ΔEAH = ΔFCH (cmt) 

→HE = HF (hai cạnh tương ứng)

$\widehat{EHA}$ = $\widehat{FHC}$ (hai góc tương ứng) 

Ta lại có: H là trung điểm MF

→HF = HM 

mà HE =HF (cmt) 

→HE = HM (= HF)

Ta có: $\widehat{EHA}$ = $\widehat{FHC}$ (cmt) 

mà $\widehat{MHA}$ = $\widehat{FHC}$ (hai góc đối đỉnh)

→$\widehat{EHA}$ = $\widehat{MHA}$ (= $\widehat{FHC}$)

Xét ΔEAH và ΔMAH có: 

HE = HM (cmt) 

$\widehat{EHA}$ = $\widehat{MHA}$ (cmt) 

HA là cạnh chung 

→ΔEAH = ΔMAH (c.g.c)

→EA = AM (hai cạnh tương ứng)

→ A ∈ đường trug trực của EM 

mà HE = HM (cmt) 

→ H ∈ đường trug trực của EM 

→AH (hay AC) là đường trung trực của đoạn thẳng ME 

d. Mình không biết làm mong cậu thông cảm ạ ;-;

Đáp án:

$\\$

`a,`

Do `ΔABC` cân tại `B` (gt)

`BH` là đường cao (gt)

`-> BH` là đường trung tuyến

`-> H` là trung điểm của `AC`

$\\$

`b,`

Do `ΔABC` cân tại `B`

`-> AB=BC` và `hat{EAH}=hat{FCH}`

Xét `ΔAEH` và `ΔCFH` có :

`hat{AEH}=hat{CFH}=90^o` ( `HE⊥AB, HF⊥BC`)

`AH=CH` (Do `H` là trung điểm của `AC`)

`hat{EAH}=hat{FCH}` (cmt)

`-> ΔAEH  = ΔCFH` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AE=CF` (2 cạnh tương ứng)

Có : `BE = AB - AE, BF = BC -CF`

mà `AB=BC` (cmt), `AE=CF` (cmt)

`-> BE=BF`

`-> ΔBEF` cân tại `B`

$\\$

`c,`

Do `ΔAEH = ΔCFH` (cmt)

`-> HE=HF` (2 cạnh tương ứng)

mà `MH =HF` (Do `H` là trung điểm của `MF`)

`-> HE = MH (=HF)`

`-> H` nằm trên đường trung trực của `ME` `(1)`

Xét `ΔAHM` và `ΔCHF` có :

`hat{AHM}=hat{CHF}` (2 góc đối đỉnh)

`AH=CH` (Do `H` là trung điểm của `AC`)

`MH=HF` (Do `H` là trung điểm của `MF`)

`-> ΔAHM = ΔCHF` (cạnh - góc - cạnh)

`-> AM = CF` (2 cạnh tương ứng)

mà `AE=CF` (cmt)

`-> AM=AE (=CF)`

`-> A` nằm trên đường trung trực của `ME` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> AH` là đường trung trực của `ME`

hay `AC` là đường trung trực của `ME`

$\\$
`d,`

Gọi `O` là giao của `EF` và `BH` `(3)`

Do `AC` là đường trung trực của `ME` (cmt)

`-> AC` đi qua trung điểm của `ME`

mà `P` là giao của `ME` và `AC`

`-> P` là trung điểm của `ME`

`-> FP` là đường trung tuyến của `ΔMEF`

Có : `H` là trung điểm của `MF` (gt)

`-> EH` là đường trung tuyến của `ΔMEF`

Có : `BE=BF` (cmt), `HE=HF` (cmt)

`-> B` nằm trên đường trung trực của `EF, H` nằm trên đường trung trực của `EF`

`-> BH` là đường trung trực của `EF`

`-> BH` đi qua trung điểm của `EF`

mà `O` là giao của `BH` và `EF`

`-> O` là trung điểm của `EF`

`-> MO` là đường trung tuyến của `ΔMEF`

Xét `ΔMEF` có :

`FP` là đường trung tuyến (cmt)

`EH` là đường trung tuyến (cmt)

`FP` cắt `EH` tại `K`

`-> K` là trọng tâm của `ΔMEF`

mà `MO` là đường trung tuyến của `ΔMEF`

`-> MO` đi qua `K`

hay `MK` đi qua `O` `(4)`

Từ `(3), (4)`

`-> BH,EF,MK` đồng quy tại `O`