a)
Xét tam giác AMN và ABM ta có:

AM chung

góc NAM=BAM(do AM là TPG của CAB)

NA=AB(gt)

=> tam giác AMN = ABM(c-g-c)

=>MN=MB(cạnh t/ứ)

b)

Ta có tam giác AMN = ABM(phần a)

=>góc MNA=MBA mà góc MBK và MNC lần lượt kề bù với 2 góc trên

=>góc MBK = MNC

Xét tam giác MNC và MBK ta có:

 góc BMK=CMN(đối đỉnh)

MB=MN(phần a)

góc MBK = MNC(cmt)

=> tam giác MNC = MBK(g-c-g)

c)

Ta có:

tam giác AMN=AMB(phần a)

=>AB=AN(canh t/ứ)

và tam giác MBK = tam giác MNC(phần b)

=>CN=BK(cạnh t/ứ)

=> AB+CN = AN+BK

Hay AC=AK

=> Tam giác ACK cân

mà AM là TPG và trong tam giác cân đg cao trùng với TPG

=> AM ⊥ KC(đpcm)

+)

Gọi giao của AM và NB là S

Xét tam giác ANS và ABS ta có:

AS chung

AN=AB(cmt)

góc NAM=BAM(cmt)

=>tam giác ANS = ABS(c-g-c)

=> góc NSA=BSA(góc t/ứ)
mà 2 góc này kề bù

=>NSA=BSA=$\frac{180}{2}$ =90 độ

=> AM ⊥NB mà AM cũng vuông với KC

=>NB//KC(từ vuông góc đến song song)

d)
Ta có:

NA=NB(gt)

mà NA thuộc AC

=>AC-AB

=AC-NA = NC

và tam giác MBK = tam giác MNC(phần b)

=>NC=BK(cạnh t/ứ) ; MC=MK

mà MK-MB<BK

=>MC-MB<BK mà BK=AC-AB

=>AC – AB > MC – MB(đpcm)

đây nhá tham khảo