Bạn sử dụng đồng dư nhé. (Đồng dư là hai số có cùng số dư khi chia cho 1 số )

Kí hiệu $a\equiv b(\bmod c)$ ($a$ có cùng số dư với $b$ khi chia cho $c$)

Xét $p=0$ thì phương trình trên trở thành: 

$\begin{array}{l} {5^0} + 2013 = {\left( {{5^{2.0}}} \right)^2} + {q^2}\\  \Rightarrow 1 + 2013 = 1 + {q^2} \Rightarrow {q^2} = 2013(L) \end{array}$

$\begin{array}{l} {5^{2p}} = {\left( {{5^2}} \right)^p} = {25^p} \equiv 0\left( {\bmod 5} \right)\\ 2013 \equiv 3\left( {\bmod 5} \right)\\  \Rightarrow {5^{2p}} + 2013 \equiv 3\left( {\bmod 5} \right)\\ {\left( {{5^{2p}}} \right)^2} = {25^{{p^2}}} \equiv 0\left( {\bmod 5} \right)\\ GT \to {5^{2p}} + 2013 = {25^{{p^2}}} + {q^2}\\  \Rightarrow {q^2} \equiv 3\left( {\bmod 5} \right)\\ \end{array}$

Ta có một số chính phương khi chia 5 chỉ dư $0,1,4$ mà $q^2$ chia 4 dư 3 nên không tồn tại $q$ thỏa mãn. Vậy không tồn tại số $p,q$ thỏa mãn yêu cầu bài toán