Đáp án:

Giải thích các bước giải:

b/ Gọi $AF$ là đường cao $ΔABC$

Xét $ΔABF$ và $ΔCBE$

Có: $\widehat{ABF}$ chung

$\widehat{BFA}=\widehat{BEC}$ $(=90^0)$

$⇒ ΔABF \backsim ΔCBE$

$⇒ \dfrac{BF}{BE}=\dfrac{AB}{BC}$

$⇒ BE.AB=BF.BC$

Tương tự: $CD.AC=CF.BC$

$⇒ BE.AB+CD.AC=BF.BC+CF.BC=(BF+CF).BC=BC^2$

c/ Tương tự câu $a$: $ΔABD \backsim ΔACE$

$⇒ \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$

Xét $ΔAED$ và $ΔACB$

Có: $\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}$

$\widehat{EAD}$ chung

$⇒ ΔAED \backsim ΔACB$

$⇒ \widehat{AED}=\widehat{ACB}$

$⇒ 90^0-\widehat{AED}=90^0-\widehat{ACB}$

$⇒ \widehat{DEH}=\widehat{HBC}$

Xét $ΔHED$ và $ΔHBC$

Có: $\widehat{EHD}=\widehat{BHC}$ (đối đỉnh)

$\widehat{DEH}=\widehat{CBH}$ (chứng minh trên)

$⇒ ΔHED \backsim ΔHBC$

d/ $ΔABC$ đều $BD$ là đường cao

$⇒ BD$ cũng là đường phân giác $\widehat{ABC}=60^0$

$⇒ \widehat{EBH}=30^0$

$\dfrac{EH}{BH}=\sin30^0=\dfrac{1}{2}$

Có: $ΔHED \backsim ΔHBC$

$⇒ \dfrac{S_{HED}}{S_{HBC}}=\dfrac{EH^2}{BH^2}=\dfrac{1}{4}$

$⇒ S_{HED}=\dfrac{1}{4}.S_{HBC}$ $(1)$

Do $ΔABC$ đều nên $H$ cũng là trọng tâm $Δ$

$⇒ \dfrac{AF}{HF}=3$

$ΔABC$ và $ΔHBC$ có cùng đáy $BC$

$⇒ \dfrac{S_{ABC}}{S_{HBC}}=\dfrac{AF}{HF}=3$

$⇒ S_{ABC}=3.S_{HBC}$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ suy ra: $\dfrac{S_{HED}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{12}$