Đáp án: toán 9 chỉ cần bunhia 2 số thôi nơi chỉ chứng minh còn n số thì khó lắm

nếu cần thì mình viết cho nhưng lớp 9 thì chuyên thì hiểu

 nếu bạn tỉnh lẻ thì đi thi bắt chứng minh chứ các tỉnh họ thg cho dùng luôn

Giải thích các bước giải:

2 số

(a²+b²)(x²+y²)≥(ax+by)²

⇔a².x²+b².x²+a².y²+b².y²≥a².x²+2axby+b².y²

⇔b².x²+a²y²≥2axby

⇔(bx-ay)²≥0với mọi a,b,x,y >0

3 số 

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²

khai triển nhé

(ax+by+cz)² ≤ (a²+b²+c²)(x²+y²+z²)

<=> (ax)²+ (by)²+ (cz)²+ 2axby+ 2bycz+ 2axcz ≤ (ax)²+(ay)²+(az)²+(bx)²+(by)²+(bz)²+(cx)²+(cy)²+(cz)²

<=> 2axby+ 2bycz+ 2axcz ≤ (ay)²+(az)²+(bx)²+(bz)²+(cx)²+(cy)²

<=> (ay)²+(az)²+(bx)²+(bz)²+(cx)²+(cy)²- 2axby- 2bycz -  2axcz ≥ 0

<=> (ay)² - 2axby+ (bx)²+ (az)²-  2axcz+ (cx)²+ (bz)²- 2bycz +(cy)² ≥0

<=> (ay- bx)²+ (az- cx)²+ (bz- cy)²≥0 (luôn đúng)

Bunhiacoxki cho `2n` số `a_1; a_2; a_3; ..............; a_n; b_1; b_2; b_3;.................; b_n`

Áp dụng BĐT `Cauchy`:

`a_1^2/(a_1^2+a_2^2+.........+a_n^2)+b_1^2/(b_1^2+b_2^2+.........+b_n^2)\ge (2a_1b_1)/\sqrt[(a_1^2+a_2^2+.........+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+.........+b_n^2)]`

`a_2^2/(a_1^2+a_2^2+.........+a_n^2)+b_2^2/(b_1^2+b_2^2+.........+b_n^2)\ge (2a_2b_2)/\sqrt[(a_1^2+a_2^2+.........+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+.........+b_n^2)]`

.......................

`a_n^2/(a_1^2+a_2^2+.........+a_n^2)+b_n^2/(b_1^2+b_2^2+.........+b_n^2)\ge (2a_nb_n)/\sqrt[(a_1^2+a_2^2+.........+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+.........+b_n^2)]`

Cộng theo vế:
`⇔(a_1^2+a_2^2+.........+a_n^2)/(a_1^2+a_2^2+.........+a_n^2)+(b_1^2+b_2^2+.........+b_n^2)/(b_1^2+b_2^2+.........+b_n^2)\ge [2(a_1b_1+a_2b_2+..........+a_nb_n)]/\sqrt[(a_1^2+a_2^2+.........+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+.........+b_n^2)]`

`⇔(a_1^2+a_2^2+.........+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+.........+b_n^2)\ge (a_1b_1+a_2b_2+..........+a_nb_n)^2`

Dấu `=` xảy ra `⇔a_1/b_1=a_2/b_2=........=a_n/b_n`