Đáp án + Giải thích các bước giải:

 $a)\; 5^5-5^4+5^3 = 5^3 (5^2-5^1+1)=5^3.21=5^3.3.7 \;\vdots\; 7$

 $b)\; 7^6+7^5-7^4=7^4(7^2+7^1-1)=7^4.55=7^4.5.11 \;\vdots\; 11$

 $c)\; 3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$

$= 3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)$

$= 3^n.10-2^n.5 \;\vdots\; 10 \ ∀x\in \mathbb{N^*}$

Bài 7:

 $a)\; A=x^2+|y-2|-5$

Vì $x^2+ |y-2| \ge 0 \ ∀x,y$

$⇒ x^2+|y-2|-5 \ge -5 \ ∀x,y$

Vậy $\min A=-5$ khi $\begin{cases}x=0\\y=2\end{cases} $

 $b)\; B=|x-1|+|x-y+2|-2020$

Vì $|x-1|+|x-y+2|\ge 0 \ ∀x,y$

$⇒ |x-1|+|x-y+2|-2020\ge -2020 \ ∀x,y$

Vậy $\min B=-2020$ khi $\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$

 $c)\; C=(x^2+2)^2+|y-1|+2019$

Vì $(x^2+2)^2+|y-1|\ge 0 \ ∀x,y$

$⇒ (x^2+2)^2+|y-1|+2019\ge 2019 \ ∀x,y$

Vậy $C$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án:

$\\$

Bài `6`

`a,`

`5^5 -5^4 + 5^3`

`= 5^3 (5^2 - 5 + 1)`

`= 5^3 (25 - 5 + 1)`

`= 5^3 (20 + 1)`

`= 5^3 . 21`

`= 5^3 . 3 . 7`

Ta thấy : `7 \vdots 7`

`-> 5^3 . 3 . 7 \vdots 7`

`-> 5^5 - 5^4 + 5^3 \vdots 7`

`b,`

`7^6 + 7^5 - 7^4`

`= 7^4 (7^2 + 7 - 1)`

`= 7^4 ( 49 + 7 - 1)`

`= 7^4 (56 - 1)`

`= 7^4 . 55`

`= 7^4 . 5 . 11`

Ta thấy : `11 \vdots 11`

`-> 7^4 . 5 .11 \vdots 11`

`-> 7^6  + 7^5 - 7^4 \vdots 11`

`c,`

`3^{n + 2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n`

`= 3^n . 3^2 - 2^n . 2^2 + 3^n - 2^n`

`= (3^n . 3^2 + 3^n) - (2^n . 2^2 + 2^n)`

`= 3^n (3^2 + 1) - 2^n (2^2 + 1)`

`= 3^n (9 + 1) - 2^n (4 + 1)`

`= 3^n . 10 - 2^n . 5`

`=3^n . 10 - 2^{n-1} . 2 . 5`

`= 3^n . 10 - 2^{n-1} . 10`

Ta thấy : `10  \vdots 10`

`-> 3^n . 10 - 2^{n-1} . 10 \vdots 10`

`-> 3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n-2^n \vdots 10`

$\\$

Bài `7`

`1,`

`A = x^2 + |y-2| - 5`

Với mọi `x,y` có : \(\left\{ \begin{array}{l}x^2 ≥0\\|y-2|≥0\end{array} \right.\)

`-> x^2 + |y-2| ≥0∀x,y`

`-> x^2 + |y-2| - 5 ≥ 0 + 0 + (-5) = -5 ∀ x,y`

`-> A ≥ -5 ∀ x,y`

`-> min A = -5`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔` \(\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y-2=0\end{array} \right.\)

`↔` \(\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=2\end{array} \right.\)

Vậy `min A =-5 ↔ x=0,y=2`

`2,`

`B = |x -1| + |x-y+2| - 2020`

Với mọi `x,y` có : \(\left\{ \begin{array}{l}|x-1|≥0\\|x-y+2|≥0\end{array} \right.\)

`-> |x-1| + |x-y+2| ≥0∀x,y`

`-> |x-1| + |x-y+2| -2020 ≥ 0 + 0 + (-2020) = -2020 ∀ x,y`

`-> B ≥ -2020 ∀ x,y`

`-> min B = -2020`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔` \(\left\{ \begin{array}{l}x-1=0\\x-y+2=0\end{array} \right.\)

`↔` \(\left\{ \begin{array}{l}x=1\\1-y=-2\end{array} \right.\)

`↔` \(\left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=3\end{array} \right.\)

Vậy `min B = -2020 ↔ x=1,y=3`

`c,`

`C = (x^2 + 2)^2 + |y-1| + 2019`

Với mọi `x,y` có : \(\left\{ \begin{array}{l}(x^2+2)^2≥0\\|y-1|≥0\end{array} \right.\)

`→ (x^2+2)^2 + |y-1| ≥0∀x,y`

`-> (x^2+2)^2 + |y-1| + 2019 ≥ 0 + 0 + 2019 = 2019 ∀ x,y`

`-> C ≥ 2019∀x,y`

`->C` đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi `x,y` đạt giá trị nhỏ nhất