Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to\widehat{ABO}=\widehat{ACO}(=90^o)$

$\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC$ tại trung điểm $BC\to I$ là trung điểm $BC$

$\to IB=IC=\dfrac12BC$

Mà $AB\perp OB$

$\to IO.IA=IB^2=\dfrac{BC^2}4$

b.Xét $\Delta ABD,\Delta ABE$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$ 

$\to\Delta ABD\sim\Delta AEB(g.g)$

$\to\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}$

$\to AB^2=AD.AE$

Do $AB=AC\to AD.AE=AB.AC$

Mặt khác $\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{AB}{AE}$

Tương tự chứng minh được $\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{AC}{AE}$

Do $AB=AC$

$\to \dfrac{BD}{BE}=\dfrac{CD}{CE}$

$\to BD.CE=BE.CD$

c. Ta có $AE//BN, AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\widehat{ABC}=\widehat{BNC}=\widehat{AHC}$

$\to ABHC$ nội tiếp

Mà $ABOC$ nội tiếp

$\to A, B, H, O, C$ cùng thuộc một đường tròn

$\to BOHC$ nội tiếp

d.Ta có $BK$ là đường kính của $(O)\to BE\perp EK, BD\perp DK$

$\to\widehat{BDF}=\widehat{BIF}=90^o$

$\to BDFI$ nội tiếp

Ta có $AD.AE=AI.AO(=AB^2)$

$\to DIOE$ nội tiếp

$\to \widehat{AID}=\widehat{DEO}=\widehat{ODE}=\widehat{OIE}$

$\to\widehat{DIB}=90^o-\widehat{AID}=90^o-\widehat{EIO}=\widehat{BIE}$

$\to IB$ là phân giác $\widehat{DIE}$

$\to \widehat{DIB}=\dfrac12\widehat{DIE}=\dfrac12\widehat{DOE}=\widehat{DCE}$

Lại có $DFIB$ nội tiếp

$\to\widehat{DFB}=\widehat{DIB}=\widehat{DCE}=\widehat{DKE}$

$\to BF//KE$

Mà $BE\perp EK$

$\to BE\perp BF$