Giải thích các bước giải:

1.Ta có $H$ là trực tâm $\Delta ABC\to BH\perp AC, CH\perp AB$

$\to BH//CD, CH//BD$

$\to BDCH$ là hình  bình hành

2.Ta có $BD\perp AB, CD\perp AC$

$\to \Delta ABD,\Delta ACD$ vuông tại $B, C$

3.Để $BHCD$ là hình thoi

$\to HB=HC$

$\to H\in$ trung trực của $BC$

Mà $AH\perp BC\to AH$ là trung trực của $BC\to AB=AC$

$\to\Delta ABC$ cân tại $A$

4.Để $BHCD$ là hình vuông

$\to BHCD$ là hình thoi và $BD\perp DC$

$\to \Delta ABC$ cân tại $A$

Mặt khác $AB\perp DB, DB\perp DC, DC\perp AC\to ABDC$ là hình chữ nhật

$\to AB\perp AC$

$\to\Delta ABC$ vuông cân tại A$

5.Ta có:

$\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=360^o-\widehat{ABD}-\widehat{ACD}=360^o-90^o-90^o=180^o$

6.Ta có $BHCD$ là hình bình hành
$\to HD\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $M$ là trung điểm $BC$

$\to M$ là trung điểm $HD$

$\to H, M, D$ thẳng hàng

7.Ta có $O, M$ là trung điểm $AD, HD$

$\to OM$ là đường trung bình $\Delta AHD$

$\to AH=2OM$

$\to \dfrac{AH}{OM}=2$

8.Ta có $\Delta ABD$ vuông tại $B, O$ là trung điểm $AD$

$\to OA=OB=OD$

Tương tự  $OC=OA=OD$

$\to OB=OC(=OA)$

9.Ta có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to \dfrac{AG}{AM}=\dfrac23$

Mà $M$ là trung điểm $HD\to AM$ là trung tuyến $\Delta ADH$

$\to G$ là trọng tâm $\Delta AHD$

Do $O$ là trung điểm $AD\to H, G, O$ thẳng hàng

10.Ta có $H, K$ đối xứng qua $BC$

Gị $HK\cap BC=E\to E$ là trung điểm $HK$

Mà $M$ là trung điểm $HD\to EM$ là đường trung bình $\Delta HDK$

$\to EM//DK$

$\to DK//BC$

$\to BCDK$ là hình thang 

Lại có $H, K$ đối xứng qua $BC$ và $BHCD$ là hình bình hành

$\to CK=CH=BD$

$\to BCDK$ là hình thang cân