a) Xét $\triangle ABC$ cân tại $A$ có:

$AH$ là đường cao

$\Rightarrow AH$ là trung tuyến

$\Rightarrow HB = HC = \dfrac12BC = \dfrac12\cdot 6 = 3\ cm$

Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle ABH$ vuông tại $H$ ta được:

$AB^2 = AH^2 + HB^2$

$\Rightarrow AH = \sqrt{AB^2 - HB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\ cm$

b) Xét $\triangle ABC$ có:

$AH$ là trung tuyến (câu a)

$G$ là trọng tâm

$\Rightarrow G\in AH$

hay $A,G,H$ thẳng hàng

c) Xét $\triangle ABC$ cân tại $A$ có:

$AH$ là đường cao

$\Rightarrow AH$ là phân giác

$\Rightarrow \widehat{BAH} = \widehat{CAH}$

hay $\widehat{BAG} = \widehat{CAG}$

Xét $\triangle ABG$ và $\triangle ACG$ có:

$\begin{cases}\widehat{BAG} = \widehat{CAG}\quad (cmt)\\AB= AC\quad (gt)\\AG:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$

Do đó: $\triangle ABG = \triangle ACG\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{ABG} = \widehat{ACG}$ (hai góc tương ứng)

Đáp án:

$\\$

`a,`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> AB=AC`

Có : `AH` là đường cao

`-> AH⊥BC`

Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :

`hat{AHB} =hat{AHC} = 90^o` (Do `AH⊥BC`)

`AH` chung

`AB=AC` (chứng minh trên)

`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`-> BH=CH` (2 cạnh tương ứng)

`-> H` là trung điểm của `BC`

`-> BH =1/2BC`

`-> BH = 1/2 . 6`

`-> BH=3cm`

Xét `ΔABH` vuông tại `H` có :

`AH^2 + BH^2=AB^2` (Pitago)

`-> AH^2 = AB^2 - BH^2`

`-> AH^2 =5^2 - 3^2`

`-> AH^2 = 4^2`

`-> AH=4cm`

$\\$

$\\$

`b,`

Có : `H` là trung điểm của `BC` (chứng minh trên)

`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`

mà `G` là trọng tâm của `ΔABC`

`-> AH` đi qua trọng tâm `G` của `ΔABC`

`-> A,G,H` thẳng hàng

$\\$

$\\$

`c,`

Do `ΔAHB=ΔAHC` (chứng minh trên)

`-> hat{BAH} = hat{CAH}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{BAG} = hat{CAG}`

Xét `ΔABG` và `ΔACG` có :

`AG` chung

`AB=AC` (chứng minh trên)

`hat{BAG}= hat{CAG}` (chứng minh trên)

`-> ΔABG = ΔACG` (cạnh - góc - cạnh)