Giải thích các bước giải:

1.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AD\perp BD, AC\perp BC$ 

$\to \widehat{ECH}=\widehat{EDH}=90^o$

$\to CEDH$ nội tiếp đường tròn đường kính $EH$

2.Xét $\Delta CHA,\Delta CBE$ có:

$\widehat{HCA}=\widehat{ECB}(=90^o)$

$\widehat{CHA}=\widehat{CED}=\widehat{CEB}$

$\to\Delta CAH\sim\Delta CBE(g.g)$

$\to\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CH}{CE}$

$\to CE.CA=CH.CB$

3.Ta có $AD\perp BE, BC\perp AE, AD\cap BC=H\to H$ là trực tâm $\Delta EAB$

$\to EH\perp AB$

$\to \widehat{EDA}=\widehat{EFA}=90^o$

$\to EDFA$ nội tiếp

Lại có $\widehat{HFA}=\widehat{HCA}(=90^o)$

$\to ACHF$ nội tiếp

$\to \widehat{EFD}=\widehat{EAD}=\widehat{CAH}=\widehat{CFH}$

$\to FH$ là phân giác $\widehat{CFD}$

Ta có $\widehat{ECB}=\widehat{EFB}(=90^o)$

$\to ECFB$ nội tiếp

$\to \widehat{CDH}=\widehat{CEH}=\widehat{CEF}=\widehat{CBF}=\widehat{CBA}=\widehat{CDA}$

$\to DH$ là phân giác $\widehat{CDF}$

$\to H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta CDF$

4.Ta có $CEDH$ nội tiếp đường tròn đường kính $EH$

Do $I$ là trung điểm $EH\to I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ECHD$

Ta có $(I)\cap (O)=C, D\to OI\perp CD$

Gọi $OI\cap CD=G\to G$ là trung điểm $CD\to GC=GD=\dfrac12CD=\dfrac{R\sqrt3}2$

Ta có:

$\widehat{ICD}=90^o-\dfrac12\widehat{CID}=90^o-\widehat{CED}=90^o-\widehat{CEB}=\widehat{EBC}=\widehat{DBC}$

$\to \widehat{ICO}=\widehat{ICD}+\widehat{DCO}=\widehat{DBC}+\widehat{DCO}=\dfrac12\widehat{COD}+\widehat{CDO}=90^o$

$\to IC$ là tiếp tuyến của $(O)$

Tương tự $ID$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to IC\perp OC, ID\perp OD$

Mà $OI\perp CD=G$

$\to OG.OI=OC^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có $OG=\sqrt{OC^2-CG^2}=\dfrac12R$

$\to OI=\dfrac{OC^2}{OG}=2R$

$\to I$ thuộc $(O, 2R)$ cố định