Đáp án:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{4a^3\sqrt3}{21}$

Giải thích các bước giải:

Trong $mp(SBD)$ kẻ $SH\perp BD$

Ta có:

$\begin{cases}(SBD)\perp (ABCD)\\(SBD)\cap (ABCD)= BD\\SH\perp BD\\SH\subset (SBD)\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

Từ $H$ kẻ $HM\perp AB$

$\Rightarrow AB\perp (SHM)$

$\Rightarrow AB\perp SM$

Dễ dàng nhận thấy $\triangle SAB$ vuông tại $S$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAB$ vuông tại $S$ đường cao $SM$ ta được:

$\dfrac{MA}{MB}=\left(\dfrac{SA}{SB}\right)^2=\dfrac13$

$SM =\dfrac{SA.SB}{AB}=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

Đặt $SH = x\quad (x > 0)$

Do $SH\perp (ABCD)$

nên $\widehat{(SD;(ABCD))}=\widehat{SDH}= 30^\circ$

$\Rightarrow HD = \dfrac{SH}{\tan30^\circ}= x\sqrt3$

Ta có: $HM//AD\quad (\perp AB)$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{HD}{HB}=\dfrac{MA}{MB}=\dfrac13$

$\Rightarrow HB =3HD = 3x\sqrt3$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$+)\quad SB^2 = SH^2 + HB^2$

$\Leftrightarrow 3a^2 = x^2 + 27x^2$

$\Rightarrow x =\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$

$+)\quad SM^2 = SH^2 + HM^2$

$\Rightarrow HM=\sqrt{SM^2- SH^2}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}- \dfrac{3a^2}{28}}$

$\Rightarrow HM=\dfrac{3a\sqrt7}{7}$

Mặt khác:

$\dfrac{MA}{MB}=\dfrac13$

$\Rightarrow \dfrac{MB}{AB}=\dfrac34$

$\Rightarrow \dfrac{HM}{AD}=\dfrac34$

$\Rightarrow AD =\dfrac43HM =\dfrac{4a\sqrt7}{7}$

Ta được:

$S_{ABCD}= AD.AB =\dfrac{4a\sqrt7}{7}\cdot 2a = \dfrac{8a^2\sqrt7}{7}$

Khi đó:

$V_{S.ABCD}=\dfrac13S_{ABCD}.SH = \dfrac13\cdot\dfrac{8a^2\sqrt7}{7}\cdot \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{4a^3\sqrt3}{21}$