Đáp án:

`\hat{ABC}=60°;\hat{ACB}=45°`

Giải thích các bước giải:

Ta có:

`\hat{BAC}=180°-(\hat{ABC}+\hat{ACB})=180°-105°=75°`

Trên cạnh $BC$ lấy $D$ sao cho `\hat{CAD}=45°`

`=>\hat{BAD}=\hat{BAC}-\hat{CAD}=75°-45°=30°`

$\\$

Vẽ $BH; CK\perp AD$ lần lượt tại $H$ và $K$

`=>∆ACK` vuông tại $K$

`=>sin\hat{CAK}=sin45°={CK}/{AC}`

`=>AC=CK : sin45°=CK: \sqrt{2}/2 ={2CK}/\sqrt{2}=\sqrt{2}CK`

$\\$

$∆ABH$ vuông tại $H$

`=>sin\hat{BAH}=sin30°={BH}/{AB}`

`=>AB=BH : sin30°=BH: 1/ 2 =2BH`

$\\$

Ta có: `AB+\sqrt{2}AC=2BC`

`<=>2BH+\sqrt{2}.\sqrt{2}CK=2BC`

`<=>2(BH+CK)=2BC`

`<=>BH+CK=BC`

$\\$

Áp dụng tính chất đường xiên và đường vuông góc ta có:

$∆BDH$ vuông tại $H$ `=>BD\ge BH`

$∆CDK$ vuông tại $K$ `=>CD\ge CK`

`=>BD+CD\ge BH+CK`

`=>BC\ge BC`

Mà $BC=BC$

Dấu "=" xảy ra khi `H≡D≡K`

`=>AD`$\perp BC$

`=>∆ABD` vuông tại $D$

`=>\hat{ABD}+\hat{BAD}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{ABC}=\hat{ABD}=90°-\hat{BAD}=90°-30°=60°`

Vì `\hat{ABC}+\hat{ACB}=105°` (gt)

`=>\hat{ACB}=105°-\hat{ABC}=105°-60°=45°`

Vậy: `\hat{ABC}=60°;\hat{ACB}=45°`