Đk: m$\neq$ 1;  m$\neq$ 2

a, Để hs là hs bậc nhất và đồng biến thì a>0 ⇔ $\frac{m-1}{m²-3m+2}$ >0 ⇔$\frac{m-1}{(m-1)(m-2)}$  >0  ⇔ $\frac{1}{m-2}$ >0 ⇔ m-2 >0 (do 1>0)  ⇔ m>2

b, Để hs là hs bậc nhất và nghịch biến thì a<0 ⇔ $\frac{m-1}{m²-3m+2}$ <0 ⇔$\frac{m-1}{(m-1)(m-2)}$  <0  ⇔ $\frac{1}{m-2}$ <0 ⇔ m-2 <0 (do 1>0)  ⇔ m<2

Kết hợp với đk ⇒ m<2 và m $\neq$ 1 tmđb

Để cho hàm số trên là hàm bậc nhất thì

$\begin{array}{l} \dfrac{{m - 1}}{{{m^2} - 3m + 2}} \ne 0\\  \Leftrightarrow \dfrac{{m - 1}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)}} \ne 0\\  \Rightarrow m \ne 1,m \ne 2 \end{array}$

Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì ta có:

$\begin{array}{l} \dfrac{{m - 1}}{{{m^2} - 3m + 2}} > 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 1 > 0\\ {m^2} - 3m + 2 > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 1 < 0\\ {m^2} - 3m + 2 < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m < 1\\ 1 < m < 2 \end{array} \right.(L) \end{array} \right.\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ \left[ \begin{array}{l} m < 1\\ m > 2 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow m > 2 \end{array}$  

Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì ta có:

$\begin{array}{l} \dfrac{{m - 1}}{{{m^2} - 3m + 2}} < 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 1 < 0\\ {m^2} - 3m + 2 > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 1 > 0\\ {m^2} - 3m + 2 < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m < 1\\ \left[ \begin{array}{l} m < 1\\ m > 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ 1 < m < 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < 1\\ 1 < m < 2 \end{array} \right.\\ \end{array}$