1/ Xét $ΔANB$ và $ΔAMC$:

$\widehat A:chung$

$\widehat{ANB}=\widehat{AMC}(=90^\circ)$

$AB=AC$ ($ΔABC$ cân tại $A$)

$→ΔANB=ΔAMC(CH-GN)$

2/ Xét $ΔBMC$ và $ΔCNB$:

$\widehat{BMC}=\widehat{CNB}(=90^\circ)$

$\widehat B=\widehat C$ ($ΔABC$ cân tại $A$)

$BC:chung$

$→ΔBMC=ΔCNB(CH-GN)$

3/ $ΔANB=ΔAMC$

$→\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$ (2 góc tương ứng)

mà $\widehat B=\widehat C$

$→\widehat B-\widehat{ABN}=\widehat C-\widehat{ACM}$ hay $\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$

$→\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$

Xét $ΔIBC$:

$\widehat{IBC}=\widehat{ICB}(cmt)$

$→ΔIBC$ cân tại $I$

$→IB=IC$

Xét $ΔIMB$ và $ΔINC$:

$IB=IC(cmt)$

$\widehat{IMB}=\widehat{INC}(=90^\circ)$

$\widehat{MIB}=\widehat{NIC}$ (đối đỉnh)

$→ΔIMB=ΔINC(CH-GN)$

4/ $ΔANB=ΔAMC$

$→AN=AM$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $ΔANM$:

$AN=AM(cmt)$

$→ΔANM$ cân tại $A$

$→\widehat{AMN}=\dfrac{180^\circ-\widehat A}{2}$

Xét $ΔABC$ cân tại $A$:

$\widehat{ABC}=\dfrac{180^\circ-\widehat A}{2}$

mà $\widehat{AMN}=\dfrac{180^\circ-\widehat A}{2}$

$→\widehat{ABC}=\widehat{AMN}$

mà 2 góc ở vị trí đồng vị

$→MN//BC$

5/ Xét $ΔABC$:

$BN,CM$ là hai đường cao ứng hai cạnh $AC,AB$

mà $BN∩CM≡I$

$→I$ là trực tâm $ΔABC$

$→AI$ là đường cao ứng $BC$ hay $AI⊥BC$

Đáp án:

$\\$

`1,`

Xét `ΔANB` và `ΔAMC` có :

`hat{ANB} =hat{AMC}=90^o` (Do `BN⊥AC,CM⊥AB`)

`hat{A}` chung

`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔANB = ΔAMC` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

`2,`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{B}=hat{C}`

Xét `ΔBMC` và `ΔCNB` có :

`hat{BMC} = hat{CNB}=90^o` (Do `CM⊥AB, BN⊥AC`)

`BC` chung

`hat{B}=hat{C}` (chứng minh trên)

`-> ΔBMC = ΔCNB` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

`3,`

Do `ΔBMC = ΔCNB` (chứng minh trên)

`-> BM=CN` (2 cạnh tương ứng)

Do `ΔANB=ΔAMC` (chứng minh trên)

`-> hat{ABN} = hat{ACM}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{MBI} = hat{NCI}`

Xét `ΔIMB` và `ΔINC` có "

`hat{IMB} = hat{INC} = 90^o` (Do `CM⊥AB, BN⊥AC`)

`BM=CN` (chứng minh trên)

`hat{MBI} = hat{NCI}` (chứng minh trên)

`-> ΔIMB = ΔINC` (góc - cạnh - góc)

$\\$

`4,`

Do `ΔANB = ΔAMC` (chứng minh trên)

`-> AM=AN` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔAMN` cân tại `A`

`-> hat{AMN} = hat{ANM} = (180^o-hat{A})/2` `(1)`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{ABC} =hat{ACB} = (180^o - hat{A})/2` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{AMN} = hat{ABC}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ MN//BC$

$\\$

`5,`

Xét `ΔABC` có :

`BN` là đường cao

`CM` là đường cao

`BN` cắt `CM` tại `I`

`-> I` là trực tâm của `ΔABC`

`-> AI` là đường cao của `ΔABC`

`-> AI⊥BC`