`~rai~`

\(1)x^2-2(m-1)x+m^2+2m=0.\quad(1)\\\text{Thay m=-2 vào (1),ta được:}\\x^2-2(-2-1)x+(-2)^2+2.(-2)=0\\\Leftrightarrow x^2+6x=0\\\Leftrightarrow x(x+6)=0\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}x=0\\x+6=0\end{array}\right.\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}x=0\\x=-6.\end{array}\right.\\\text{Vậy khi m=-2 thì x}\in\{-6;0\}.\\b)\text{Ta có:}\Delta'=[-(m-1)]^2-(m^2+2m)\\\quad\quad\quad\quad\quad=m^2-2m+1-m^2-2m\\\quad\quad\quad\quad\quad=-4m+1.\\\text{Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt}\Leftrightarrow \Delta'>0\\\Leftrightarrow -4m+1>0\\\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{4}.\\\text{Áp dụng hệ thức Vi-et,ta có:}\\\begin{cases}x_1x_2=m^2+2m\\x_1+x_2=2(m-1)\end{cases}\\\\\text{Ta có:}x_1(3-x_2)+10=x_2(x_1-3)\\\Leftrightarrow 3x_1-x_1x_2+10=x_1x_2-3x_2\\\Leftrightarrow (3x_1+3x_2)-(x_1x_2+x_1x_2)+10=0\\\Leftrightarrow 3(x_1+x_2)-2x_1x_2+10=0\\\Leftrightarrow 6(m-1)-2(m^2+2m)+10=0\\\Leftrightarrow 6m-6-2m^2-4m+10=0\\\Leftrightarrow -2m^2+2m+4=0\quad(a-b+c=0)\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}m=-1\quad(nhận)\\m=2\quad(loại).\end{array}\right.\\\text{Vậy m=-1.}\)

Đáp án:

$m = -1$

Giải thích các bước giải:

$\quad x^2 - 2(m-1)x + m^2 + 2m = 0 \qquad (1)$

a) Với $m= - 2$ ta được:

$(1) \Leftrightarrow x^2 +6x=0$

$\Leftrightarrow x(x+6) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = -6\end{array}\right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{-6;0\}$ khi $m=  -2$

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta' >0$

$\Leftrightarrow (m-1)^2 - (m^2 + 2m) >0$

$\Leftrightarrow -4m +1 >0$

$\Leftrightarrow m < \dfrac14$

Áp dụng định lí Viète với hai nghiệm $x_1;\ x_2$ của phương trình ,ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2(m-1)\\x_1x_2 = m^2 + 2m\end{cases}$

Ta có:

$\quad x_1(3-x_2) + 10 = x_2(x_1 - 3)$

$\Leftrightarrow 3x_1 - x_1x_2 + 10 = x_1x_2 - 3x_2$

$\Leftrightarrow 3(x_1 + x_2) - 2x_1x_2 + 10 = 0$

$\Leftrightarrow 6(m-1) - 2(m^2 + 2m) + 10=0$

$\Leftrightarrow -m^2 +m + 2 =0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = -1\quad (nhận)\\m= 2\quad (loại)\end{array}\right.$

Vậy $m =-1$