Lời giải.

Bài `1:`

Chu vi tam giác `ABC` là:

`30+30+30=90(cm)`

Như ta đã biết, tỉ số diện tích của hai tam giác bất kì bằng bình phương tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó (= bình phương tỉ số chu vi của hai tam giác đó). Mà `{S_{ABC}}/{S_{DEF}}=1/9=(1/3)^2`

`=>{P_{ABC}}/{P_{DEF}}=1/3` (với `P` là kí hiệu của chu vi)

Thay số: `90/{P_{DEF}}=1/3`

`=>P_{DEF}=3.90=270`

Vậy chu vi tam giác `DEF` bằng `270cm.`

Bài `2:`

`a)` Xét `ΔAMH` và `ΔAHB` có:

`hat{BAH}` là góc chung

`hat{AMH}=hat{AHB}=90^0` 

`=>ΔAMH∼ΔAHB(g.g)`

Vậy `ΔAMH∼ΔAHB.`

`b)` Hoàn toàn tương tự phần `a)` ta cũng chứng minh được

`ΔANH∼ΔAHC(g.g)=>{AN}/{AH}={AH}/{AC}=>AN.AC=AH.AH=AH^2`

Mà `ΔAMH∼ΔAHB` (chứng minh phần `a)`)

`=>{AM}/{AH}={AH}/{AB}=>AM.AB=AH.AH=AH^2`

Từ các điều trên, ta suy ra `AM.AB=AN.AC(=AH^2)`

Vậy `AM.AB=AN.AC.`

`c)` Xét `ΔAMN` và `ΔACB` có:

`hat{MAN}` là góc chung

`AM.AB=AN.AC => {AM}/{AC}={AN}/{AB}`

`=>ΔAMN∼ΔACB(c.g.c)`

`=>{MN}/{BC}={AN}/{AB}`

Từ `AN.AC=AH.AH=AH^2` (phần `b)`) ta thay số với `AN=3cm,AH=6cm` ta được:

`3.AC=6^2`

`<=>AC=36:3=12(cm)`

Mà `AM.AB=AN.AC` (phần `b)`)

Thay số: `4.AB=3.12`

`<=>AB=36:4=9(cm)`

Từ đó suy ra ta thay số vào `{MN}/{BC}={AN}/{AB}` ta được:

`{MN}/15= 3/9`

`<=> {MN}/15 = 1/3`

`=>3MN=15`

`<=>MN=15:3=5.`

Vậy `MN=5cm.`

Hình vẽ.

Đáp án:

Câu `1:`

Ta có: `ΔABC` và `ΔDEF` đều nên ΔABC\simΔDEF$

Do đó: `(S_(ABC))/(S_(DEF))=1/9<=>((AB)/(DE))^2=(1/3)^2<=>(AB)/(DE)=1/3`

Suy ra, `DE=3AB=3.3=90(cm)`

`=>` `P_(DEF)=90.3=270(cm)`

Vậy `P_(DEF)=270cm`

Câu `2:`

`a,` Xét `ΔAMH` và `ΔAHB,` ta có:

$\left.\begin{matrix}\widehat{BAH}\text{ : chung}\\\widehat{AMH}=\widehat{AHB}=90^o\end{matrix}\right\}$`=>`$ΔAMH\simΔAHB$

`b,` Chứng minh tương tự ta cũng có:

$ΔANH\simΔAHC$

`=>` $\left.\begin{matrix}AH^2=AN.AC\\ΔAMH\simΔAHB\end{matrix}\right\}$`=>AH^2=AM.AB`

`=>` `AM.AB=AN.AC`

`c,` Ta có: `AM.AB=AN.AC`

`=>` `(AM)/(AC)=(AN)/(AB)` và `hat(BAC)` chung.

`=>` $ΔAMN\simΔACB$

`=>` `(MN)/(CB)=(AM)/(AC)` hay `MN=(AM.CB)/(AC)`

Lại có: `AH^2=AN.AC(cmt)`

`<=>` `36=3AC`

`<=>` `AC=12(cm)`

Do đó `MN=(AM.CB)/(AC)=(4.12)/12=5(cm)`