Câu 62:

Xét tứ giác $AIHK$ có:

$\widehat{I}=\widehat{A} = \widehat{K} =90^\circ$

Do đó $AIHK$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{AIK} = \widehat{HAI}=\widehat{HAB}$

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow MA = MB = MC = \dfrac12BC$

$\Rightarrow \triangle MAB$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{MBA}$

hay $\widehat{MAI} = \widehat{ABH}$

Khi đó:

$\widehat{MAI} + \widehat{AIK} = \widehat{HAB} + \widehat{ABH} = 90^\circ$

Do đó: $AM\perp IK$

Câu 63:

Xét $\triangle AOD$ có:

$AH\perp OD\quad (gt)$

$\widehat{DAH} = \widehat{HAO} \quad (gt)$

$\Rightarrow \triangle AOD$ cân tại $A$

$\Rightarrow AH$ là trung tuyến

$\Rightarrow HD = HO = \dfrac12OD$

$\Rightarrow OH = \dfrac12OB\qquad (1)$

Từ $O$ kẻ $OK\perp AB\ (K\in AB)$

Xét $\triangle HAO$ và $\triangle KAO$ có:

$\begin{cases}\widehat{H} = \widehat{K} = 90^\circ\\AO:\ \text{cạnh chung}\\\widehat{HAO} = \widehat{OAK}\quad (gt)\end{cases}$

Do đó $\triangle HAO = \triangle KAO$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow OK = OH\qquad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow OK = \dfrac12OB$

Xét $\triangle OKB$ vuông tại $K$ có:

$OK = \dfrac12OB$

$\Rightarrow OKB$ là nửa tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{OBK} = 30^\circ$

$\Rightarrow \widehat{HAB} = 60^\circ$

$\Rightarrow \widehat{DAH} = 30^\circ$

$\Rightarrow \widehat{DAB} = 90^\circ$

mà $ABCD$ là hình binh hành

nên $ABCD$ là hình chữ nhật

Câu 64:

Ta có: $I$ là giao điểm `3` đường trung trực

$\Rightarrow IA = IB = IC$

Ta lại có: $IA  = IE = \dfrac12AE\quad (gt)$

$\Rightarrow IB = IA = IE = \dfrac12AE$

$\Rightarrow \triangle ABE$ vuông tại $B$

$\Rightarrow EB\perp AB$

Ta lại có: $H$ là trực tâm $\triangle ABC$

$\Rightarrow CH\perp AB$

Do đó: $EB//CH$

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được:

$EC//BH$

Do đó: $BHCE$ là hình bình hành