Giải:

Đặt `A = |x - 2| + |x - 4|`

`= |x - 2| + |4 - x|` (áp dụng `|a| = |-a|`)

`≥ |x - 2 + 4 - x| = 2` (áp dụng `|A| + |B| ≥ |A + B|`)

`-> A ≥ 2`

Dấu "=" xảy ra `⇔ (x - 2)(4 - x) ≥ 0`

`⇔ (x - 2)(x - 4) ≤ 0`

`⇔ x - 2` và `x - 4` trái dấu

`⇔ x - 2 ≥ 0` và `x - 4 ≤ 0` (vì `x - 2 > x - 4)`

`⇔ x ≥ 2` và `x ≤ 4`

`⇔ 2 ≤ x ≤ 4`

Vậy MinA = 2 ⇔ `2 ≤ x ≤ 4`.

Đáp án:

$\\$

Trước hết ta chứng minh Bất Đẳng Thức : $|a| + |b| \geqslant |a + b|$

$↔ (|a| + |b|)^2 \geqslant (|a + b|)^2$

Áp dụng HĐT 1 : `(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2` ta được :

$↔ |a|^2 + 2. |a| . |b| + |b|^2 \geqslant (a + b)^2$

$↔ a^2 + 2 . |a| . |b| + b^2 \geqslant a^2 + 2ab+ b^2$

$↔ 2 |a| |b| \geqslant 2ab$

$↔ |ab| \geqslant ab$ (Luôn đúng)

Dấu "`=`" xảy ra khi :

$↔ ab \geqslant 0$

$\\$

Đặt `A = |x-2| + |x-4|`

`↔ A= |x-2| + |4-x|`

Áp dụng BĐT $|a| + |b| \geqslant |a+b|$ (chứng minh trên) Ta được :

$↔ |x-2| + |4-x| \geqslant |x-2+4-x| = |2| = 2$

$↔ A \geqslant 2$

`↔ min A =2`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔ (x-2) (4-x)` $\geqslant 0$

`↔` \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x-2\geqslant0 \\4-x\geqslant0\end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l}x-2\leqslant0\\4-x\leqslant0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

`↔` \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\geqslant2 \\x\leqslant4\end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l}x\leqslant2\\x \geqslant4\end{array} \right. \text{(Vô lí)}\end{array} \right.\)

`↔` $2 \leqslant x \leqslant 4$

Vậy `min A = ` $↔ 2 \leqslant x \leqslant 4$