a) Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} =90^\circ$

Do đó $AEHF$ là hình chữ nhật

b) Ta có:

$AEHF$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{HAE} = \widehat{HAB}$

mà $\widehat{AEF} + \widehat{IAE} = 90^\circ\quad (IA\perp EF)$

$\widehat{HAB} + \widehat{ABH} = 90^\circ\quad (\triangle HAB$ vuông tại $H)$

nên $\widehat{IAB} = \widehat{ABH}$

hay $\widehat{IAB} = \widehat{ABI}$

$\Rightarrow \triangle IAB$ cân tại $I$

$\Rightarrow IA = IB$

Ta lại có:

$\widehat{IAB} + \widehat{IAC} = \widehat{A} = 90^\circ$

$\widehat{ABI} + \widehat{ACI} = 90^\circ\quad (\triangle ABC$ vuông tại $A)$

nên $\widehat{IAC} = \widehat{ACI}$

$\Rightarrow \triangle IAC$ cân tại $I$

$\Rightarrow IA = IC$

Do đó: $IA = IB =IC$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $BC$

c) Ta có:

$\widehat{AEF} = \widehat{HAE} = \widehat{HAB}$

$\widehat{HAB} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$)

$\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{ACB}$

Xét $\triangle AEF$ và $\triangle ACB$ có:

$\begin{cases} \widehat{AEF} = \widehat{ACB}\quad (cmt)\\\widehat{A}:\ \text{góc chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle AEF\backsim \triangle ACB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{S_{AEF}} = \left(\dfrac{BC}{EF}\right)^2$

$\Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{\dfrac12S_{AEHF}} = \left(\dfrac{BC}{EF}\right)^2$

$\Rightarrow 2\cdot \dfrac{S_{ABC}}{S_{AEHF}} = \left(\dfrac{BC}{AH}\right)^2$

$\Rightarrow 4= \left(\dfrac{BC}{AH}\right)^2$

$\Rightarrow \dfrac{BC}{AH} = 2$

$\Rightarrow AH = \dfrac12BC$

Ta lại có: $AI = \dfrac12BC$ (câu b)

$\Rightarrow H\equiv I$

$\Rightarrow AH$ là trung tuyến của $\triangle ABC$

mà $AH$ là đường cao

nên $\triangle ABC$ cân tại $A$

Do đó $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$