Đáp án + Giải thích các bước giải:

 13. $\dfrac{1}{1-x^2}+\dfrac1{1-y^2}\ge \dfrac{2}{1-xy}$

$↔ \dfrac{1}{1-x^2}+\dfrac1{1-y^2} - \dfrac{2}{1-xy} \ge 0$

$↔ \dfrac{1}{1-x^2}-\dfrac{1}{1-xy}+\dfrac1{1-y^2} - \dfrac{1}{1-xy} \ge 0$

$↔ \dfrac{1-xy-1+x^2}{(1-x^2)(1-xy)}+\dfrac{1-xy-1+y^2}{(1-y^2)(1-xy)}\ge 0$

$↔ \dfrac{-x(y-x)}{(1-x^2)(1-xy)}+\dfrac{y(y-x)}{(1-y^2)(1-xy)}\ge 0$

$↔ \dfrac{-x(y-x)(1-y^2)}{(1+x^2)(1-xy)(1-y^2)}+\dfrac{y(y-x)(1-x^2)}{(1-y^2)(1-xy)(1-x^2)}\ge 0$

$↔ (y-x)[-x(1-y^2)+y(1-x^2)]\ge 0$

$↔ (y-x)(-x+xy^2+y-x^2y)\ge 0$

$↔ (y-x)^2(1-xy)\ge 0\ ∀x,y$

Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng.

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y$

 14. $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge \dfrac{a+b+c}{2a}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$\dfrac{b+c}{a}+1 \ge 2\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$

$↔ \left(\dfrac{b+c}{a}+1\right):2 \ge \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$

$↔\dfrac{2a}{a+b+c}\ge \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$

$↔ \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge \dfrac{a+b+c}{2a}$ (đpcm)

 15. $\dfrac1a+\dfrac1b \ge \dfrac{4}{a+b}$

$↔ \dfrac{a+b}{ab}\ge \dfrac{4}{a+b}$

$↔ \dfrac{(a+b)^2}{ab(a+b)}\ge \dfrac{4ab}{ab(a+b)}$

$↔ (a+b)^2\ge 4ab$

$↔ a^2+2ab+b^2-4ab\ge 0$

$↔ a^2-2ab+b^2\ge 0$

$↔ (a-b)^2 \ge 0\ ∀a,b\ge 0$

Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng.

Dẫu $"="$ xảy ra khi $a=b$

 16. $\dfrac{1}{xy}\ge \dfrac4{(x+y)^2}$

$↔ \dfrac{(x+y)^2}{xy(x+y)^2}\ge \dfrac{4xy}{xy(x+y)^2}$

$↔ (x+y)^2\ge 4xy$

$↔ (x-y)^2\ge 0 \ ∀x,y$

Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng.

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y$

 17. $\dfrac{2}{\sqrt k+\sqrt k}> \dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}$

Giả sử: $\dfrac{2}{\sqrt k+\sqrt k}< \dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}$

$↔ 2\sqrt k < \sqrt{k+1}+\sqrt k$

$↔ \sqrt{k}<\sqrt{k+1}$ (đúng)

$→ \dfrac{2}{2\sqrt{k}}>\dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ (đpcm)