Đáp án:

$115)\quad A.\ \dfrac{100}{199}$

$116)\quad D.\ m < -2$

$117)\quad A.\ \dfrac12$

$118)\quad C.\ \dfrac23$

Giải thích các bước giải:

Câu 115:

$\quad y = \dfrac{mx +3m - 2}{x + m}$

$TXD: D = \Bbb R\backslash\{-m\}$

$\quad y' = \dfrac{m^2 - 3m + 2}{(x+m)^2}$

Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty)$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y' >0\\-m \notin (2;+\infty)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 - 3m + 2>0\\-m \leqslant 2\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{m}m>2\\m < 1\end{array}\right.\\m \geqslant -2\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m > 2\\-2 \leqslant m < 1\end{array}\right.$

Do $m\in Z;\ -100 < m < 100$

nên $m \in \underbrace{\{-2;-1;0;3;4;5;\dots;98;99\}}_{\text{100 giá trị m}}$

Số cách chọn một số $m$ trong tập $S = \{m\in\Bbb Z; -100 < m < 100\}$

$n(\Omega) = 199$

Gọi $A$ là biến cố lấy được số $m$ thỏa mãn đề bài

$\Rightarrow n(A) = C_{100}^1 = 100$

Xác suất cần tìm:

$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{100}{199}$

Câu 116:

$\quad y = \dfrac{2x - 3m - 2}{x - m}$

$TXD: D = \Bbb R\backslash\{m\}$

$\quad y' = \dfrac{m + 2}{(x-m)^2}$

Hàm số nghịch biến trên $(1;2)$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y' < 0\\m \notin (1;2)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m + 2 <0\\\left[\begin{array}{l}m \leqslant 1\\m \geqslant 2\end{array}\right.\end{cases}$

$\Leftrightarrow m < - 2$

Câu 117:

$\quad y = \dfrac{x + m^4}{x + m}$

$TXD:  D= \Bbb R\backslash\{-m\}$

$\quad y' = \dfrac{m - m^4}{(x+m)^2}$

Hàm số đồng biến trên $\left(-\dfrac12;+\infty\right)$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y' > 0\\-m \notin\left(-\dfrac12;+\infty\right)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m  - m^4 >0\\- m \leqslant - \dfrac12\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}0 < m < 1\\m \geqslant \dfrac12\end{cases}$

$\Leftrightarrow \dfrac12\leqslant m < 1$

$\Leftrightarrow m \in \left[\dfrac12;1\right)$

$\Rightarrow \begin{cases}a = \dfrac12\\b = 1\end{cases}$

$\Rightarrow b - a  = \dfrac12$

Câu 118:

$\quad y = \dfrac{m^3x + 16}{x + m}$

$TXD: D = \Bbb R\backslash\{-m\}$

$\quad y'  = \dfrac{m^4 - 16}{(x+m)^2}$

Hàm số đồng biến trên $(5;+\infty)$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y' >0\\-m \notin (5;+\infty)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m^4 - 16 >0\\-m \leqslant 5\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l}m >2\\m < -2\end{array}\right.\\m \geqslant -5\end{cases}$

$\Leftrightarrow -5 \leqslant m < -2$

mà $m\in \Bbb Z$

nên $m\in \{-5;-4;-3\}$

$\Rightarrow S = \{-5;-4;-3\}$

Số cách chọn một số trong tập $S:\ n(\Omega) = C_3^1 = 3$

Gọi $A$ là biến cố: "Chọn được số lẻ"

$\Rightarrow n(A) = C_2^1 = 2$

Xác suất chọn được số lẻ trong tập $S$ là:

$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{2}{3}$