Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$g'(x)=8(3x^2-3)f'(x^3-3x+3)-(12x^5-48x^3+48x^2+36x-48)$

$g'(x)=24(x^2-1)\bigg[f'(x^3-3x+3)-\dfrac{1}{2}(x^3-3x+3+1)\bigg]$

$g'(x)=0$

$⇔\begin{cases}
x=±1\\
f'(x^3-3x+3)=\dfrac{1}{2}(x^3-3x+3+1)(1)
\end{cases}$

Đặt $t=x^3-3x+3$,phương trình $(1)$ trở thành $f'(t)=\dfrac{1}{2}(t+1)$

$⇒$Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f'(t),y=\dfrac{1}{2}(t+1)$

Dựa vào đồ thị hàm số trên đề thấy $(1)⇔\begin{cases}
t=-1\\
t=1\\
t=5\\
t=t_0∈(1;5)
\end{cases}$

Với $t=-1⇔x^3-3x+3=-1$

$⇒$Phương trình có 1 nghiệm không nguyên

Với $t=1⇔x^3-3x+3=1⇔\begin{cases}
x=1\\
x=-2
\end{cases}$

$x=1$ là nghiệm bội $2$

Với $t=5⇒x^3-3x+3=5⇔\begin{cases}
x=2\\
x=-1
\end{cases}$

$x=-1$ là nghiệm bội $2$

Với $t=t_0∈(1;5)⇒1<t_0<5$ ta có:$x^3-3x+3=t_0$

Xét hàm số $h(x)=x^3-3x+3$,có:

$h'(x)=3x^2-3=0⇔\begin{cases}
x=1\\
x=-1
\end{cases}$

Bảng biến thiên trong hình dưới nhé

$⇒x^3-3x+3=t_0$ có $3$ nghiệm phân biệt

$⇒g'(x)=0$ có $8$ nghiệm phân biệt,$g'(x)$ đổi dấu qua các nghiệm này$(x=±1$ là nghiệm bội $3)$

$⇒$Hàm số $g(x) có $8$ điểm cực trị

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$g'(x)=8(3x^2-3)f'(x^3-3x+3)-(12x^5-48x^3+48x^2+36x-48)$

$g'(x)=24(x^2-1)\bigg[f'(x^3-3x+3)-\dfrac{1}{2}(x^3-3x+3+1)\bigg]$

$g'(x)=0$

$⇔\begin{cases}
x=±1\\
f'(x^3-3x+3)=\dfrac{1}{2}(x^3-3x+3+1)(1)
\end{cases}$

Đặt $t=x^3-3x+3$,phương trình $(1)$ trở thành $f'(t)=\dfrac{1}{2}(t+1)$

$⇒$Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f'(t),y=\dfrac{1}{2}(t+1)$

Dựa vào đồ thị hàm số trên đề thấy $(1)⇔\begin{cases}
t=-1\\
t=1\\
t=5\\
t=t_0∈(1;5)
\end{cases}$

Với $t=-1⇔x^3-3x+3=-1$

$⇒$Phương trình có 1 nghiệm không nguyên

Với $t=1⇔x^3-3x+3=1⇔\begin{cases}
x=1\\
x=-2
\end{cases}$

$x=1$ là nghiệm bội $2$

Với $t=5⇒x^3-3x+3=5⇔\begin{cases}
x=2\\
x=-1
\end{cases}$

$x=-1$ là nghiệm bội $2$

Với $t=t_0∈(1;5)⇒1<t_0<5$ ta có:$x^3-3x+3=t_0$

Xét hàm số $h(x)=x^3-3x+3$,có:

$h'(x)=3x^2-3=0⇔\begin{cases}
x=1\\
x=-1
\end{cases}$

$⇒x^3-3x+3=t_0$ có $3$ là nghiệm phân biệt

$⇒g'(x)=0$ có $8$ nghiệm phân biệt,$g'(x)$ đổi dấu qua các nghiệm này$(x=±1$ là nghiệm bội $3)$

$⇒$Hàm số g(x) có 8điểm cực trị