Câu c mình chưa ra

Lời giải:

a) Ta có:

$EF\perp AQ$ tại $I$

$\Rightarrow \widehat{AIE} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{IAE} + \widehat{AEI} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{QAC} + \widehat{AEF}= 90^\circ\qquad (1)$

Ta lại có:

$\widehat{ACQ} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{QAC} + \widehat{AQC} = 90^\circ$

mà $\widehat{AQC} = \widehat{ABC}$ (cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)

nên $\widehat{QAC} + \widehat{ABC} = 90^\circ\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{ABC} = \widehat{FBC}$

Xét tứ giác $BFEC$ có:

$\widehat{AEF} = \widehat{FBC}\quad (cmt)$

Do đó $BFEC$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{BFC} = \widehat{BEC} = 90^\circ$

b) Xét $\triangle AIE$ và $\triangle ACQ$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{I} = \widehat{C} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó $\triangle AIE\backsim \triangle ACQ\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{AE}{AQ}$

$\Rightarrow AI.AQ = AE.AC\qquad (3)$

Xét $\triangle AFH$ và $\triangle ADB$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{F} = \widehat{D} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó $\triangle AFH \backsim \triangle ADB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AF}{AD} = \dfrac{AH}{AB}$

$\Rightarrow AF.AB = AH.AD\qquad (4)$

Ta lại có: $BFEC$ là tứ giác nội tiếp (câu a)

$\Rightarrow AE.AC = AF.AB\qquad (5)$

Từ $(3)(4)(5)\Rightarrow AI.AQ = AH.AD$

$\Rightarrow \dfrac{AI}{AD} = \dfrac{AH}{AQ}$

Xét $\triangle AIH$ và $\triangle ADQ$ có:

$\begin{cases}\dfrac{AI}{AD} = \dfrac{AH}{AQ}\quad (cmt)\\\widehat{A}:\ \text{góc chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle AIH\backsim \triangle ADQ\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{AIH} = \widehat{ADQ}$ (hai góc tương ứng)

c) Ta có:

$\widehat{ASH} = \widehat{ASQ} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat{AFH} = \widehat{AFC} = \widehat{BFC} = 90^\circ$ (câu a)

$\widehat{AEH} = \widehat{AEB} = 90^\circ\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{ASH} = \widehat{AFH} = \widehat{AEH} = 90^\circ$

$\Rightarrow ASFHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\Rightarrow ASFE$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MSF} = \widehat{AEF}$

mà $\widehat{AEF} = \widehat{FBC}$ ($BFEC$ nội tiếp)

nên $\widehat{MSF} = \widehat{FBC}$

$\Rightarrow MSFB$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{BFM} = \widehat{BSM}$

Ta lại có:

$\widehat{BSM} = \widehat{ACB}$ ($ASBC$ nội tiếp)

$\widehat{ACB} = \widehat{AFE}$ ($BFEC$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{BSM} = \widehat{AFE}$

Do đó:

$\widehat{BFM} = \widehat{AFE}$

mà $A,F,B$ thẳng hàng

nên $E,F,M$ thẳng hàng