Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$\quad \dfrac{2mx^2 + 2(m-1)x + 7m + 9}{x^2 + 1}\geqslant 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{2mx^2 + 2(m-1)x + 7m + 9}{x^2 + 1} - 1 \geqslant 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2m - 1)x^2 + 2(m-1)x + 7m + 8}{x^2 + 1}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow (2m - 1)x^2 + 2(m-1)x + 7m + 8 \geqslant 0\quad \forall x\in\Bbb R\qquad (*)$

$+)\quad m = \dfrac12$

$(*) \Leftrightarrow - x + \dfrac{23}{2} \geqslant 0\quad \forall x\in \Bbb R$ (loại)

$+)\quad m \ne \dfrac12$

$(*) \Leftrightarrow \begin{cases}2m - 1 >0\\\Delta_{(*)}' \leqslant 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m > \dfrac12\\(m-1)^2 - (2m-1)(7m+8) \leqslant 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m > \dfrac12\\\left[\begin{array}{l}m \geqslant \dfrac{-11 + \sqrt{589}}{26}\\m \leqslant \dfrac{-11 - \sqrt{589}}{26}\end{array}\right.\end{cases}$

$\Leftrightarrow m \geqslant \dfrac{-11 + \sqrt{589}}{26}$

Vậy $m\in \left[\dfrac{-11 + \sqrt{589}}{26};+\infty\right)$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `\frac{2mx^2+2(m-1)x+7m+9}{x^2+1} \ge 1`

`⇔ \frac{2mx^2+2(m-1)x+7m+9}{x^2+1} -1 \ge 0`

`⇔ \frac{2mx^2+2(m-1)x+7m+9}{x^2+1} -\frac{x^2+1}{x^2+1} \ge 0`

`⇔ \frac{2mx^2+2(m-1)x+7m+9-x^2-1}{x^2+1} \ge 0`

`⇔ \frac{2mx^2-x^2+2(m-1)x+7m+8}{x^2+1} \ge 0`

`⇔ \frac{(2m-1)x^2+2(m-1)x+7m+8}{x^2+1} \ge 0\ (1)`

Do `x^2 +1 \ge 1` nên mẫu dương

`(1)⇔ (2m-1)x^2+2(m-1)x+7m+8 \ge 0 ∀x`

TH1: `m = 1/2`

`⇔ -x+23/2 \ge 0`

`⇔ x \le 23/2` (L)

TH2: `m \ne 1/2`

`⇔` \(\begin{cases} a>0\\Δ' \le 0\end{cases}\)

`⇔` \(\begin{cases} 2m-1>0\\Δ'=(m-1)^2-(2m-1)(7m+8) \le 0\end{cases}\)

`⇔` \(\begin{cases} m>\dfrac{1}{2}\\-13m^2-11m+9 \le 0\end{cases}\)

`⇔` \(\begin{cases} m>\dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m \le \dfrac{-11-\sqrt{589}}{26}\\m \ge \dfrac{-11+\sqrt{589}}{26}\end{array} \right.\end{cases}\)

`⇔ m \ge \frac{-11+\sqrt{589}}{26}`

Vậy với `m \ge \frac{-11+\sqrt{589}}{26}` thì BPT nghiệm đúng với mọi x thuộc `\mathbb{R}`