Đáp án:

$\\$

`a,`

Do `AH` là đường cao

`-> hat{AHB}=hat{AHC}=90^o`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> AB=AC`

Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\\ \text{AH chung}\\ \text{AB=AC (chứng minh trên)}\end{array} \right.\)

`-> ΔAHB=ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\\$

$\\$

`b,`

Do `ΔAHB=ΔAHC` (chứng minh trên)

`-> hat{BAH} = hat{HAC}` (2 góc tương ứng)

Do $HK//AB$

`-> hat{AHK} = hat{BAH}` (2 góc so le trong)

mà `hat{BAH} = hat{HAC}` (chứng minh trên)

`-> hat{AHK} = hat{HAC} (= hat{BAH})`

$\\$

$\\$

`c,`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{B}=hat{C}`

Do $HK//AB$

`-> hat{B} = hat{KHC}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{B}=hat{C}` (chứng minh trên)

`-> hat{KHC} = hat{C} (= hat{B})`

`-> ΔHKC` cân tại `K`

$\\$

$\\$

`d,`

Có : `hat{HAC} = hat{AHK}` (chứng minh trên)

`-> ΔAHK` cân tại `K`

`-> AK=KH`

Do `ΔHKC` cân tại `K`

`-> CK = KH`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AK=KH\\CK=KH\end{array} \right.\) (chứng minh trên)

`-> AK=CK (=KH)`

`-> K` là trung điểm của `AC`

`-> BK` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Do `ΔAHB=ΔAHC` (chứng minh trên)

`-> BH=CH` (2 cạnh tương ứng)

`-> H` là trung điểm của `BC`

`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Có : `I` là trung điểm của `AB`

`-> CI` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Xét `ΔABC` có :

`BK` là đường trung tuyến

`AH` là đường trung tuyến

`BK` cắt `AH` tại `N`

`-> N` là trọng tâm của `ΔABC`

mà `CI` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`-> CI` đi qua trọng tâm `N` của `ΔABC`

`-> C,N,I` thẳng hàng

4.

a, xét 2 Δ ABH và Δ ACH có: 

      ∠AHB=∠AHC=90độ

      ∠B=∠C(vì Δ ABC cân tại A)  

      AB=AC(vì Δ ABC cân tại A)

      ⇒ΔABH=ΔACH (cạnh huyền-góc nhọn)(đpcm)

b, vì ΔABC cân tại A có AH là đường cao ⇔AH là tia phân giác ∠A⇔∠BAH=∠HAC(1)

    vì AB song song HK

⇒∠BAH=∠AHK(so le trong) (2)

từ (1) và (2)⇒∠HA=∠AHK

c, vì AB song song HK⇒∠B=∠KHC(đồng vị) (3)

    mà ∠B=∠C ( vì ΔABC cân tại A) (4)

 từ (3)và(4)⇒∠KHC=∠C⇒ΔHKC cân tại K