Đáp án: `S={\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{3}{4}}`

Giải thích các bước giải:

$ĐKXĐ:x≥-3$

Đặt $\sqrt{x+3}=y(y≥0)⇒y^2=x+3$

Khi đó ta có phương trình: $2x^2+y^2=3xy$

$⇔(2x-y)(x-y)=0⇔\left[ \begin{array}{l}y=2x\\x=y\end{array} \right.$

-Với $y=2x⇔2x=\sqrt{x+3}$

$⇔4x^2=x+3(x≥0)$

$⇔4x^2-x-3=0$

$⇔(4x-3)(x+1)=0⇔\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{3}{4}(tm)\\x=-1(ktm)\end{array} \right.$

-Với $y=x⇔x=\sqrt{x+3}$

$⇔x^2=x+3(x≥0)$

$⇔x^2-x-3=0(*)$

Ta có: $Δ=(-1)^2-4.1.(-3)=13>0$

Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt:

`x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{13}}{2.1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}(tm)`

`x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{13}}{2.1}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}(ktm)`

Bài làm:

  ĐKXĐ: $x\geq-3$ 

 Đặt $\sqrt{x+3}=a$ $(a\geq0)$ 

 Phương trình ban đầu trở thành: $2x^2+a^2=3x.a$

⇔ $2x^2-3ax+a^2=0$ ⇔ $2x^2-2ax-ax+a^2=0$

⇔ $2x(x-a)-a(x-a)=0$ ⇔ $(2x-a)(x-a)=0$

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2x-a=0\\x-a=0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a=2x\\a=x\end{array} \right.\) 

 +) TH1: $a=2x$ ⇒ $\sqrt{x+3}=2x$ ( ĐKXĐ : $x\geq0$ )

  ⇒ $x+3=4x^2$ ⇔ $4x^2-x-3=0$

  Ta thấy: $a+b+c=4+(-1)+(-3)=0$

  ⇒ Phương trình có nghiệm là $x_{1}=1$ và $x_{2}$ $=$ $\frac{-3}{4}$ 

 So sánh với điều kiện $x\geq0$ ta thấy $x=1$ thỏa mãn, $x=\frac{-3}{4}$ không thỏa mãn

  mà $x=1$ cũng thỏa mãn ĐKXĐ ⇒ $x=1$

 +) TH2: $a=x$ ⇒ $\sqrt{x+3}=x$ ( ĐKXĐ: $x\geq0$ )

  ⇔ $x+3=x^2$ ⇔ $x^2-x-3=0$

  Ta có: $\Delta$ $=$ $(-1)^2-4.1.(-3)=1+12=13$ $>$ $0$

 ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1,2}$ $=$ $\frac{1±\sqrt{13}}{2}$ 

 So sánh với điều kiện $x\geq0$ ⇒ $x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ thỏa mãn ; $x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ không thỏa mãn

 mà $x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ thỏa mãn ĐKXĐ 

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { $1$ ; $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ }