Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2 + AC^2=BC^2` (Pitago)

`-> BC^2 = 9^2 + 12^2`

`-> BC^2=15^2`

`-> BC=15cm`

$\\$

$\\$

`b,`

Do `ΔABC` vuông tại `A`

`-> hat{BAD}=90^o`

Do `DM⊥BC`

`-> hat{BMD}=90^o`

Do `BD` là tia phân giác của `hat{B}`

`-> hat{ABD}=hat{MBD}`

Xét `ΔABD` và `ΔMBD` có :

$\left.\begin{matrix} \widehat{BAD}=\widehat{BMD}=90^o\\ \text{BD chung}\\ \widehat{ABD} = \widehat{MBD} \text{(chứng minh trên)}\end{matrix}\right\}$ `-> ΔABD = ΔMBD` (ch - gn)

$\\$

$\\$

`c,`

Do `ΔABD = ΔMBD` (chứng minh trên)

`->AD=MD` (2 cạnh tương ứng)

và `AB=MB` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔEAD` và `ΔCMD` có :

$\left.\begin{matrix} \widehat{EAD}=\widehat{CMD}=90^o\\ \text{AD=MD (chứng minh trên)}\\ \widehat{ADE} = \widehat{MDC} \text{(2 góc đối đỉnh)}\end{matrix}\right\}$ `-> ΔEAD=ΔCMD` (g.c.g)

`-> AE=MC` (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB+AE=BE\\MB+MC=BC\end{array} \right.\)

mà `AB=MB` (chứng minh trên), `AE=MC` (chứng minh trên)

`-> BE=BC`

`-> ΔBEC` cân tại `B`

`-> hat{BEC} = hat{BCE}`

$\\$

$\\$

`d,`

Gọi `H` là giao của `CK` và `EK`

Có : `K` là trung điểm của `DE`

`-> CK` là đường trung tuyến của `ΔEDC`

Có : `L` là trung điểm của `DC`

`-> EL` là đường trung tuyến của `ΔEDC`

Xét `ΔEDC` có :

`CK` là đường trung tuyến

`EL` là đường trung tuyến

`CK` cắt `EL` tại `H`

`-> H` là trực tâm của `ΔEDC`

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}EH=\dfrac{2}{3}EL\\CH=\dfrac{2}{3}CK\end{array} \right.\)

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔEHC` có :

`EH + HC > EC`

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}EH=\dfrac{2}{3}EL\\CH=\dfrac{2}{3}CK\end{array} \right.\) vào ta được :

`↔ 2/3 EL + 2/3 CK > EC`

`↔ 2/3 (EL + CK) > EC`

`↔EL + CK > 3/2EC`